Формула Аккермана

Таким образом, для решения задачи модального управления можно перевести модель произвольной структуры в каноническую форму управляемости, после чего с помощью уравнения получить коэффициенты обратной связи. Однако в реальной системе желательно использовать переменные состояния, отражающие физическую сторону протекающих процессов, а не абстрактные переменные состояния канонической формы, которые могут быть недоступны для измерения. Аккерманом была предложена формула, позволяющая с помощью преобразования подобия перевести модель произвольной структуры в каноническую форму управляемости, определить искомые коэффициенты K, а затем пересчитать полученное решение применительно к исходной структуре.

Если задан желаемый характеристический полином замкнутой системы

q (s) = ,

то формула Аккермана имеет вид:

Пример 2.7. Пусть система описывается матрицами

Желаемые полюса заданы вектором

.

Требуется найти коэффициенты обратной связи.

Характеристический полином желаемой замкнутой системы имеет вид:

q (s) = ,

т. е. a ₂=3; a ₁=4.

Формула Аккермана:

Этот результат совпадает с полученным ранее.

Пример 2.8. Дана передаточная функция объекта:

Найти коэффициенты обратной связи, обеспечивающие заданные значения корней характеристического полинома замкнутой системы:

Запишем уравнения в канонической форме управляемости

Здесь, очевидно,

b ₂ = 0, b ₁ = 0, b ₀ = 10.

a ₂ = 16, a ₁ = 0, a ₀ = 1.

Тогда

Характеристическое уравнение желаемой замкнутой системы имеет вид:

Коэффициенты уравнения α₀ = 2, α₁ = 3.

Записываем формулу Аккермана