Редуцированные наблюдающие устройства

Рассмотренное выше структура наблюдающего устройства обладает некоторой избыточностью. Избыточность выражается в том, что наблюдающее устройство оценивает весь вектор переменных состояния X (t), хотя часть координат вектора состояния могут быть непосредственно измерены. Эту избыточность можно устранить путем синтеза редуцированного наблюдающего устройства, порядок которого меньше, чем порядок заданного динамического объекта.

Пусть измерению доступны первые m координат вектора состояния X (t). Тогда вектор переменных состояния можно представить следующим образом

где Y (t) – вектор размерности m (измеряемые координаты), W (t) – вектор размерности n – m (не измеряемые координаты вектора состояния).

Тогда уравнение выхода для объекта управления можно представить следующим образом

где I _m – единичная матрица размера m × m, 0 – нулевая матрица.

В уравнении

Матрицу А и вектор В представим в блочной форме:

где A ₁₁ – матрица размера m × m, A ₁₂ – матрица размера m × (n – m), A ₂₁ – матрица размера (n – m) × m, A ₂₂ – матрица размера (n – m) × (n – m), вектора В ₁ и В ₂ имеют размер m и n – m.

Тогда уравнение состояния можно переписать следующим образом

Этим уравнениям соответствует структурная схема, приведенная на рис. 2.10

B 2

A 12

U (t)

B 1

Y (t)

A 11

A 22

W (t)

A 21

Z (t)

∫

∫

Рис. 2.10. Блочное представление уравнения состояния.

Идея синтеза редуцированного наблюдающего устройства заключается в следующем. Так как вектор Y (t) доступен непосредственному измерению, то полагаем, что можно каким-либо способом вычислить и его производную по времени. Ввиду того, что управляющая функция также доступна измерению, то согласно уравнению можно вычислить вектор

Рассмотрим затем уравнение

Это уравнение можно рассматривать как модель объекта с вектором состояния W (t).

Слагаемое в скобке будем рассматривать в качестве внешнего воздействия.

Основной теоретической базой для синтеза редуцированного наблюдателя является утверждение: «Если система A, C обладает свойством наблюдаемости, то свойствами наблюдаемости обладает и подсистема A ₂₂, A ₁₂».

Рассмотрим динамический объект, описываемый системой уравнений:

Первое из этих уравнений описывает динамику объекта (рис. 2.11), а второе является уравнением выхода.

B 2

A 21

Y (t)

Z (t)

A 12

A 22

W (t)

U (t)

Рис. 2.11. Структура динамического объекта

Для того, чтобы получить математическую модель редуцированного наблюдающего устройства воспользуемся общим уравнением наблюдающего устройства полного порядка

Для редуцированного наблюдающего устройства матрице A будет соответствовать A ₂₂, матрице C – A ₁₂, и матрице N – матрица L, которой соответствуют коэффициенты обратных связей редуцированного наблюдающего устройства.

Таким образом, получаем оценку вектора состояния динамического объекта

Структурная схема редуцированного наблюдающего устройства показана на рис. 2.12.

A 21– LA 11

Y (t)

B 2– LB 1

U (t)

d/dt

L

A2 2– LA 12

Рис. 2.12. Редуцированное наблюдающее устройство

Для того, чтобы избавиться от операции дифференцирования, можно ввести в рассмотрение вектор состояния наблюдающего устройства размером (n – m):

Тогда можно записать (подставляем ):

Получается следующая структурная схема (рис. 2.13).

A 21– LA 11

Y (t)

B 2– LB 1

U (t)

L

A2 2– LA 12

V (t)

Рис.

Рис. 2.13. Вариант редуцированного наблюдающего устройства

Последнее уравнение можно перегруппировать:

Затем можно найти оценку состояния: