![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
2.1. Область сходимости. Множество значений аргумента x, при которых функциональный ряд
сходится, называется областью сходимостью этого ряда. Функция
где частичная сумма, а x принадлежит области сходимости, называется суммой ряда. Функция
называется остатком ряда.
Существует два типа сходимости функционального ряда: поточечная и равномерная. Функциональный ряд называется сходящимся на множестве
к функции
, если он сходится в каждой точке множества X, т.е.
такое, что выполняется
.
Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве
к функции
, если
такое, что
и
выполняется
.
Признак Вейерштрасса равномерной сходимости: пусть для и
выполняются неравенства
, причем числовой ряд
сходится. Тогда функциональный ряд
сходится абсолютно и равномерно на множестве
.
Пример 1. Исследовать сходимость ряда на отрезке
.
Решение. Первое слагаемое в сумме принимает наибольшее значение в точке
, второе в точке
. Следовательно, для всех
имеем, что
, и в силу признака Вейерштрасса получаем, что данный ряд сходится равномерно на
.
Для данного функционального ряда построить мажорирующий ряд и доказать равномерную сходимость на указанном отрезке.
2.1. 2.2.
2.3. 2.4.
2.5. 2.6.
2.7. 2.8.
Частным случаем функционального ряда является степенной ряд, который имеет вид:
Областью сходимости степенного ряда является интервал с центром в точке и радиусом R, т.е. множество определяемое неравенством:
Вне этого интервала степенной ряд расходится, а на концах, т.е. в точках
ряд может сходиться, а может и расходиться. Радиус сходимости R может быть, в частных случаях равен также 0 и
Интервал сходимости определяют обычно с помощью признаков Даламбера или Коши.
Во многих случаях для нахождения области сходимости функционального ряда достаточно применить к этому ряду известные признаки сходимости, считая x фиксированным числом.
Пример 2. Найти область сходимости ряда .
Решение. К рядам такого вида можно применить условие сходимости Даламбера: . В нашем случае:
;
.
;
.
После сокращения одинаковых сомножителей получим:
.
Вынесем за знак предела постоянные множители (учитывая, что не зависит от
):
.
Так как
,
то окончательно получим:
, или
.
Раскрывая «модульное» неравенство, имеем: , откуда
.
Ясно, что вторая часть теоремы Даламбера (об условиях расходимости ряда) привела бы нас при решении неравенства
к множеству точек .
Очевидно, что точки и
являются решениями уравнения
, а в этом случае признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости или расходимости ряда. Поэтому в указанных случаях требуется проведение дополнительного исследования сходимости функционального ряда, для чего подставим оба числа в исходный ряд:
а) . Подставив в исходный ряд, получим:
.
Исследуем полученный знакочередующийся ряд с помощью признака Лейбница:
ряд
сходится, значит точка
является точкой сходимости функционального ряда .
б) . Подставив в ряд, будем иметь:
.
Так как , то этот обобщенный гармонический ряд расходится, т.е. точка
не является точкой сходимости исходного функционального ряда.
Итак, объединяя интервал сходимости и точку , получим окончательно область сходимости исходного ряда:
.
Найти область сходимости рядов:
2.9. . 2.10.
.
2.11. . 2.12.
.
2.13. . 2 .14.
.
2.15. . 2.16.
.
2.17. . 2 .18.
.
2.19. . 2.20.
.
2.21. . 2.22
.
2.23. . 2.24.
.
Найти область сходимости функционального ряда:
2.25. . 2.26.
. 2.27.
2.28. . 2.29.
. 2.30.
.
2.31. . 2.32.
2.33.
Теоремы о дифференцировании и интегрировании степенных рядов в некоторых случаях позволяют находить сумму ряда.
Пример 3. Найти сумму ряда
Решение. =
Обозначим
Тогда
Окончательно получаем
Найти сумму ряда.
2.34. . 2.35.
2.36. 2.36.
2.37. 2.38.
2.39. 2.40.
2.41. 2.42.
2.2. Ряд Тейлора. Если функция допускает в некоторой окрестности разложение в степенной ряд по степеням
то этот ряд называется рядом Тейлора и имеет вид:
При ряд Тейлора называют также рядом Маклорена.
Для оценки остаточного члена ряда можно пользоваться формулой (форма Лагранжа):
Разложения некоторых основных элементарных функций в степенной ряд имеют вид:
Пользуясь этими разложениями, можно во многих случаях получать разложение заданной функции в степенной ряд, причем отпадает необходимость исследования остаточного члена ряда. Иногда при разложении необходимо использовать почленное дифференцирование или интегрирование. При разложении в степенные ряды рациональных функций рекомендуется разлагать их на простейшие дроби.
Разложение функций в степенные ряды применяется при решении различных задач: нахождении пределов, приближенном вычислении значений функций, приближенном вычислению интегралов и т.п.
Пример 4. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки
.
Решение. Ряд Тейлора имеет вид:
.
Найдем подряд несколько производных от данной функции в точке :
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Подметив закономерность построения очередной производной, приходим к выводу:
.
Тогда разложение данной функции в ряд Тейлора примет вид:
.
Пример 5. Пользуясь разложением функции в ряд Маклорена, разложить функцию
в окрестности точки
.
Решение. Разложение функции в ряд Маклорена имеет вид:
.
Тогда:
.
Умножив обе части этого равенства на , получим:
.
Пример 6. Пользуясь разложением функции в ряд Маклорена, найти седьмую производной от функции при
.
Решение. Разложим функцию в ряд Маклорена, используя стандартное разложение:
,
Тогда
.
Так как в общем случае ряд Маклорена имеет вид:
,
то, сравнивая коэффициенты при , будем иметь:
, отсюда
.
Пример 7. Вычислить приближенное значение , взяв три члена разложения в ряд Маклорена функции
, и оценить погрешность.
Решение. Используем разложение функции в ряд Маклорена:
,
тогда точное значение будет:
.
Оставив в этом разложении три члена, получим:
.
Для оценки погрешности используем остаточный член в форме Лагранжа:
, где
.
В нашем случае:
, где
.
Так как , то
, поэтому справедлива оценка
. Тогда
.
Поэтому делаем вывод, что погрешность будет следующей:
,
а значит, в ответе оставляем две цифры после запятой, т.е. .
Пример 8. Вычислить с точностью до :
.
Решение. Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена. Чтобы разложить функцию , найдем сначала её производную:
.
Используем биноминальный ряд:
.
В нашем случае будем иметь:
Интегрируем обе части полученного равенства:
;
.
Делим обе части полученного равенства на ,и получаем
Теперь интегрируем это равенство на отрезке :
В результате, имеем сходящийся знакочередующийся ряд, сумма которого (следствие к признаку Лейбница) не превосходит величины первого отброшенного члена. Поэтому, если оставить в полученном разложении 3 слагаемых, то величина отброшенного остатка (который тоже является сходящимся знакочередующимся рядом) не будет превышать величины своего первого члена, т.е. величины первого отброшенного слагаемого: , а эта погрешность наверняка меньше, чем
.
Итак:
.
Разложить следующие функции в ряд Тейлора и исследовать остаточные члены:
2.43. в окрестности точки
.
2.44. в окрестности точки
.
2.45. в окрестности точки
.
2.46. в окрестности точки
Разложить данные функции в окрестности точки , пользуясь формулами разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций.
2.47. . 2 .48.
.
2.49. . 2.50.
2.51. . 2.52.
.
2.53. . 2.54.
.
2.55. . 2.56.
.
2.57. . 2.58. y=
2.59. Пользуясь формулами разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций, разложить по степеням функции:
2.60. Пользуясь разложением функции в ряд Маклорена, найти значение:
а) пятой производной от функции при
;
б) десятой производной от функции при
.
Пользуясь разложением функции в ряд Маклорена, вычислить пределы:
2.61. . 2.62.
.
2.63. 2.64.
.
Выразить в форме ряда интегралы, используя разложение в ряд подынтегральных функций и указать области сходимости полученных рядов.
2 .65. . 2.66.
.
2.67. . 2.68.
.
2 .69. . 2.70.
.
Вычислить приближенно с заданной точностью.
2.71. с точностью до
.
2.72. с точностью до
.
2.73. с точностью до
.
2.74. с точностью до
.
2.75. с точностью до
.
2.76. с точностью до
.
2.77. с точностью до
.
2.78. с точностью до
.
2.79. с точностью до
.
2.80. с точностью до
.
2.81. с точностью до
.
2.82. с точностью до
.
2.83. с точностью до
.
2.84. с точностью до
.
2.85. с точностью до
.
2.86. Вычислить площадь, ограниченную линией , осью ординат и прямой
, с точностью до
.
2.87. Вычислить длину одной полуволны синусоиды с точностью до
.
2.88. Вычислить длину параболы с точностью до
.
2.3. Тригонометрические ряды Фурье. Тригонометрическим рядом Фурье периодической функции с периодом 2
называется функциональный ряд
где числа называются коэффициентами Фурье и определяются по формулам:
Теорема Дирихле. Пусть функция удовлетворяет условиям:
1) равномерно ограничена в интервале , т.е.
где М – постоянная;
2) имеет не более чем конечное число точек разрыва 1-го рода;
3) имеет не более чем конечное число точек строгого экстремума.
Тогда формально составленный ряд Фурье этой функции сходится является периодической функцией с периодом
, причем в точках непрерывности
а в точках разрыва
.
Если функция задана на отрезке
, где
- произвольное число, то при выполнении условий Дирихле на этом отрезке, указанная функция может быть представлена в виде суммы ряда Фурье
где
В случае, когда - четная функция в интервале
, то её ряд Фурье имеет вид:
Если - нечетная функция в интервале
, то её ряд Фурье имеет вид:
Пример 9. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом
:
Решение. Построим график функции (рис.2.1):
y |
x |
-3π |
-2π |
-π |
3π |
π |
2π |
Рис. 2.1 |
Очевидно, что условия Дирихле выполняются. Определим коэффициенты Фурье:
;
Составим ряд Фурье:
,
Сумма ряда
Пример 10. Разложить в ряд Фурье периодическую с периодом функцию
:
Решение. Построим график функции (рис.2.2):
2π |
y |
x |
-3π |
-2π |
-π |
3π |
π |
-1 |
Рис. 2.2 |
Ясно, что - нечетная функция, поэтому
;
;
Итак, ряд Фурье будет иметь вид:
Пример 11. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию
, если
.
Решение. Построим график функции (рис.2.3):
y |
x |
-3 |
-2 |
-1 |
1/2 |
Рис. 2.3 |
Так как, - нечетная функция, то
;
;
;
;
Получим ряд Фурье:
Пример 12. Разложить функцию на отрезке
в ряд по косинусам.
Решение. Продолжим эту функцию четным образом на отрезок (рис.2.4). Получим
,
,
.
y |
x |
-4 |
-2 |
Рис. 2.4 |
Так как ‑ четная, то
.
;
;
Получим ряд Фурье:
;
.
Разложить следующие функции в ряд Фурье.
2.89. ,
2.90. ,
,
.
2.91. ,
,
.
2.92. ,
,
.
2.93. Периодическая с функция
2.94. Периодическая с функция
2.95. ,
,
.
2.96.
.
2.97.
.
2.98. Разложите заданную функцию на указанном интервале в тригонометрический ряд: а) только по косинусам, б) только по синусам
2.99. Разложите заданную функцию на указанном интервале в тригонометрический ряд: а) только по косинусам, б) только по синусам
2.100. Постройте график функции , разложите заданную функцию
на указанном промежутке в тригонометрический ряд Фурье
2.101. Постройте график функции , разложите заданную функцию
на указанном промежутке в тригонометрический ряд Фурье
2.102. на отрезке
. Разложить в ряд в ряд по синусам.
2.103. на отрезке
. Разложить в ряд по
синусам.
2.104. на отрезке
. Разложить в ряд по косинусам
.
2.105. Разложите функцию , заданную на интервале
графически, в тригонометрический ряд Фурье: а) только по косинусам, б) только по синусам
2.106. Разложите функцию , заданную на интервале
графически, в тригонометрический ряд Фурье: а) только по косинусам, б) только по синусам
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Сформулируйте определения сходящегося числового ряда, суммы
ряда, остатка ряда.
2. Какой ряд называется расходящимся? Приведите примеры сходя-
щихся и расходящихся рядов.
3. Сформулируйте критерий Коши сходимости числового ряда. В чем
состоит необходимый признак сходимости?
4. Какой ряд называется знакоположительным? Сформулируйте основной признак сходимости.
5.Сформулируйте достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов: признак разреженности, признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши и интегральный признак. Укажите условия сходимости и расходимости обобщенного гармонического ряда.
6. Верно ли, что: а) если ряд сходится, то его частичные суммы ограничены; б) если частичные суммы ограничены, то ряд сходится.
7. Существует ли ряд, который а) по признаку Даламбера сходится, а по признаку Коши расходится; б) по признаку Коши сходится, а признаку сравнения расходится.
8. Привести пример двух рядов и
, для которых ряд
сходится, а ряд
расходится.
9. Какой ряд называется знакочередующимся? Сформулируйте признак Лейбница. В чем состоит практическое значение следствия к признаку Лейбница.
10. Верно ли, что: а) если ряд сходится абсолютно, то он сходится и условно; б) если ряд сходится условно, то он не сходится абсолютно.
11. Какой ряд называется знакопеременным? Сформулируйте достаточный признак сходимости знакопеременного ряда. В чем состоит отличие абсолютной и условной сходимости знакопеременного ряда?
12. Сформулируйте признаки Абеля и Дирихле для знакопеременных рядов.
13.Что называется функциональным рядом? Дайте определения сходящегося и равномерно сходящегося функциональных рядов. В чем состоит отличие?
14. Сформулируйте критерий Коши и признак Вейерштрасса для функциональных рядов. Приведите примеры применения.
15. Сформулируйте теорему о пределе суммы функционального ряда и теорему об её непрерывности. Приведите пример ряда с непрерывными функциями, у которого сумма является разрывной функцией.
16. Сформулируйте теоремы о дифференцировании и интегрировании функционального ряда. Приведите примеры применения.
17. Какой функциональный ряд называется степенным? Сформулируйте теорему Коши-Адамара. Какое множество является областью сходимости степенного ряда? Как его находят?
18. Сформулируйте теорему Абеля и теорему о почленном дифференцировании и интегрировании степенного ряда. Приведите пример применения последней теоремы.
19. Какой степенной ряд называется рядом Тейлора? Как определяются коэффициенты этого ряда?
20. В чем состоит необходимое и достаточное условие сходимости к своему ряду Тейлора? Только достаточное? Приведите пример функции, к которой не сходится её ряд Тейлора.
21. Запишите разложения следующих функций в ряд Маклорена: .
22. Что называется основной тригонометрической системой и тригонометрической системой общего вида? Что означает ортогональность этих систем?
23. Запишите тригонометрический ряд Фурье и коэффициенты Фурье по основной тригонометрической системе и по тригонометрической системе общего вида.
24. Сформулируйте свойства коэффициентов Фурье, а также лемму Римана.
25. Запишите тригонометрический ряд Фурье и коэффициенты Фурье: а) для четных функций; б) для нечетных функций
26. Сформулируйте теорему Вейерштрасса. Какими свойствами должна обладать функция, чтобы абсолютно и равномерно сходился ее ряд Фурье?
27. Запишите тригонометрический ряд Фурье в комплексной форме и коэффициенты Фурье. Приведите пример.
29. Какой вид имеет интеграл Фурье? При каких условиях интеграл Фурье сходится? Запишите интегральное преобразование Фурье.
Дата публикования: 2015-02-20; Прочитано: 1506 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!