Функциональные ряды

2.1. Область сходимости. Множество значений аргумента x, при которых функциональный ряд

сходится, называется областью сходимостью этого ряда. Функция

где частичная сумма, а x принадлежит области сходимости, называется суммой ряда. Функция называется остатком ряда.

Существует два типа сходимости функционального ряда: поточечная и равномерная. Функциональный ряд называется сходящимся на множестве к функции , если он сходится в каждой точке множества X, т.е. такое, что выполняется .

Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве к функции , если такое, что и выполняется .

Признак Вейерштрасса равномерной сходимости: пусть для и выполняются неравенства , причем числовой ряд сходится. Тогда функциональный ряд сходится абсолютно и равномерно на множестве .

Пример 1. Исследовать сходимость ряда на отрезке .

Решение. Первое слагаемое в сумме принимает наибольшее значение в точке , второе в точке . Следовательно, для всех имеем, что , и в силу признака Вейерштрасса получаем, что данный ряд сходится равномерно на .

Для данного функционального ряда построить мажорирующий ряд и доказать равномерную сходимость на указанном отрезке.

2.1. 2.2.

2.3. 2.4.

2.5. 2.6.

2.7. 2.8.

Частным случаем функционального ряда является степенной ряд, который имеет вид:

Областью сходимости степенного ряда является интервал с центром в точке и радиусом R, т.е. множество определяемое неравенством: Вне этого интервала степенной ряд расходится, а на концах, т.е. в точках ряд может сходиться, а может и расходиться. Радиус сходимости R может быть, в частных случаях равен также 0 и Интервал сходимости определяют обычно с помощью признаков Даламбера или Коши.

Во многих случаях для нахождения области сходимости функционального ряда достаточно применить к этому ряду известные признаки сходимости, считая x фиксированным числом.

Пример 2. Найти область сходимости ряда .

Решение. К рядам такого вида можно применить условие сходимости Даламбера: . В нашем случае:

; .

; .

После сокращения одинаковых сомножителей получим:

.

Вынесем за знак предела постоянные множители (учитывая, что не зависит от ):

.

Так как

,

то окончательно получим:

, или .

Раскрывая «модульное» неравенство, имеем: , откуда

.

Ясно, что вторая часть теоремы Даламбера (об условиях расходимости ряда) привела бы нас при решении неравенства

к множеству точек .

Очевидно, что точки и являются решениями уравнения

, а в этом случае признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости или расходимости ряда. Поэтому в указанных случаях требуется проведение дополнительного исследования сходимости функционального ряда, для чего подставим оба числа в исходный ряд:

а) . Подставив в исходный ряд, получим:

.

Исследуем полученный знакочередующийся ряд с помощью признака Лейбница:

ряд сходится, значит точка

является точкой сходимости функционального ряда .

б) . Подставив в ряд, будем иметь:

.

Так как , то этот обобщенный гармонический ряд расходится, т.е. точка не является точкой сходимости исходного функционального ряда.

Итак, объединяя интервал сходимости и точку , получим окончательно область сходимости исходного ряда: .

Найти область сходимости рядов:

2.9. . 2.10. .

2.11. . 2.12. .

2.13. . 2 .14. .

2.15. . 2.16. .

2.17. . 2 .18. .

2.19. . 2.20. .

2.21. . 2.22 .

2.23. . 2.24. .

Найти область сходимости функционального ряда:

2.25. . 2.26. . 2.27.

2.28. . 2.29. . 2.30. .

2.31. . 2.32. 2.33.

Теоремы о дифференцировании и интегрировании степенных рядов в некоторых случаях позволяют находить сумму ряда.

Пример 3. Найти сумму ряда

Решение. = Обозначим Тогда

Окончательно получаем

Найти сумму ряда.

2.34. . 2.35.

2.36. 2.36.

2.37. 2.38.

2.39. 2.40.

2.41. 2.42.

2.2. Ряд Тейлора. Если функция допускает в некоторой окрестности разложение в степенной ряд по степеням то этот ряд называется рядом Тейлора и имеет вид:

При ряд Тейлора называют также рядом Маклорена.

Для оценки остаточного члена ряда можно пользоваться формулой (форма Лагранжа):

Разложения некоторых основных элементарных функций в степенной ряд имеют вид:

Пользуясь этими разложениями, можно во многих случаях получать разложение заданной функции в степенной ряд, причем отпадает необходимость исследования остаточного члена ряда. Иногда при разложении необходимо использовать почленное дифференцирование или интегрирование. При разложении в степенные ряды рациональных функций рекомендуется разлагать их на простейшие дроби.

Разложение функций в степенные ряды применяется при решении различных задач: нахождении пределов, приближенном вычислении значений функций, приближенном вычислению интегралов и т.п.

Пример 4. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки .

Решение. Ряд Тейлора имеет вид:

.

Найдем подряд несколько производных от данной функции в точке :

;

; ;

; ;

; ;

; .

Подметив закономерность построения очередной производной, приходим к выводу:

.

Тогда разложение данной функции в ряд Тейлора примет вид:

.

Пример 5. Пользуясь разложением функции в ряд Маклорена, разложить функцию в окрестности точки .

Решение. Разложение функции в ряд Маклорена имеет вид:

.

Тогда:

.

Умножив обе части этого равенства на , получим:

.

Пример 6. Пользуясь разложением функции в ряд Маклорена, найти седьмую производной от функции при .

Решение. Разложим функцию в ряд Маклорена, используя стандартное разложение:

,

Тогда

.

Так как в общем случае ряд Маклорена имеет вид:

,

то, сравнивая коэффициенты при , будем иметь:

, отсюда .

Пример 7. Вычислить приближенное значение , взяв три члена разложения в ряд Маклорена функции , и оценить погрешность.

Решение. Используем разложение функции в ряд Маклорена:

,

тогда точное значение будет:

.

Оставив в этом разложении три члена, получим:

.

Для оценки погрешности используем остаточный член в форме Лагранжа:

, где .

В нашем случае:

, где .

Так как , то , поэтому справедлива оценка . Тогда

.

Поэтому делаем вывод, что погрешность будет следующей:

,

а значит, в ответе оставляем две цифры после запятой, т.е. .

Пример 8. Вычислить с точностью до : .

Решение. Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена. Чтобы разложить функцию , найдем сначала её производную:

.

Используем биноминальный ряд:

.

В нашем случае будем иметь:

Интегрируем обе части полученного равенства:

;

.

Делим обе части полученного равенства на ,и получаем

Теперь интегрируем это равенство на отрезке :

В результате, имеем сходящийся знакочередующийся ряд, сумма которого (следствие к признаку Лейбница) не превосходит величины первого отброшенного члена. Поэтому, если оставить в полученном разложении 3 слагаемых, то величина отброшенного остатка (который тоже является сходящимся знакочередующимся рядом) не будет превышать величины своего первого члена, т.е. величины первого отброшенного слагаемого: , а эта погрешность наверняка меньше, чем .

Итак:

.

Разложить следующие функции в ряд Тейлора и исследовать остаточные члены:

2.43. в окрестности точки .

2.44. в окрестности точки .

2.45. в окрестности точки .

2.46. в окрестности точки

Разложить данные функции в окрестности точки , пользуясь формулами разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций.

2.47. . 2 .48. .

2.49. . 2.50.

2.51. . 2.52. .

2.53. . 2.54. .

2.55. . 2.56. .

2.57. . 2.58. y=

2.59. Пользуясь формулами разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций, разложить по степеням функции:

2.60. Пользуясь разложением функции в ряд Маклорена, найти значение:

а) пятой производной от функции при ;

б) десятой производной от функции при .

Пользуясь разложением функции в ряд Маклорена, вычислить пределы:

2.61. . 2.62. .

2.63. 2.64. .

Выразить в форме ряда интегралы, используя разложение в ряд подынтегральных функций и указать области сходимости полученных рядов.

2 .65. . 2.66. .

2.67. . 2.68. .

2 .69. . 2.70. .

Вычислить приближенно с заданной точностью.

2.71. с точностью до .

2.72. с точностью до .

2.73. с точностью до .

2.74. с точностью до .

2.75. с точностью до .

2.76. с точностью до .

2.77. с точностью до .

2.78. с точностью до .

2.79. с точностью до .

2.80. с точностью до .

2.81. с точностью до .

2.82. с точностью до .

2.83. с точностью до .

2.84. с точностью до .

2.85. с точностью до .

2.86. Вычислить площадь, ограниченную линией , осью ординат и прямой , с точностью до .

2.87. Вычислить длину одной полуволны синусоиды с точностью до .

2.88. Вычислить длину параболы с точностью до .

2.3. Тригонометрические ряды Фурье. Тригонометрическим рядом Фурье периодической функции с периодом 2 называется функциональный ряд

где числа называются коэффициентами Фурье и определяются по формулам:

Теорема Дирихле. Пусть функция удовлетворяет условиям:

1) равномерно ограничена в интервале , т.е. где М – постоянная;

2) имеет не более чем конечное число точек разрыва 1-го рода;

3) имеет не более чем конечное число точек строгого экстремума.

Тогда формально составленный ряд Фурье этой функции сходится является периодической функцией с периодом , причем в точках непрерывности а в точках разрыва

.

Если функция задана на отрезке , где - произвольное число, то при выполнении условий Дирихле на этом отрезке, указанная функция может быть представлена в виде суммы ряда Фурье

где

В случае, когда - четная функция в интервале , то её ряд Фурье имеет вид:

Если - нечетная функция в интервале , то её ряд Фурье имеет вид:

Пример 9. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию с периодом :

Решение. Построим график функции (рис.2.1):

y

x

-3π

-2π

-π

3π

π

2π

Рис. 2.1

Очевидно, что условия Дирихле выполняются. Определим коэффициенты Фурье:

;

Составим ряд Фурье:

,

Сумма ряда

Пример 10. Разложить в ряд Фурье периодическую с периодом функцию :

Решение. Построим график функции (рис.2.2):

2π

y

x

-3π

-2π

-π

3π

π

-1

Рис. 2.2

Ясно, что - нечетная функция, поэтому ; ;

Итак, ряд Фурье будет иметь вид:

Пример 11. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию , если .

Решение. Построим график функции (рис.2.3):

y

x

-3

-2

-1

1/2

Рис. 2.3

Так как, - нечетная функция, то ; ; ; ;

Получим ряд Фурье:

Пример 12. Разложить функцию на отрезке в ряд по косинусам.

Решение. Продолжим эту функцию четным образом на отрезок (рис.2.4). Получим , , .

y

x

-4

-2

Рис. 2.4

Так как ‑ четная, то .

; ;

Получим ряд Фурье:

;

.

Разложить следующие функции в ряд Фурье.

2.89. ,

2.90. , , .

2.91. , , .

2.92. , , .

2.93. Периодическая с функция

2.94. Периодическая с функция

2.95. , , .

2.96. .

2.97. .

2.98. Разложите заданную функцию на указанном интервале в тригонометрический ряд: а) только по косинусам, б) только по синусам

2.99. Разложите заданную функцию на указанном интервале в тригонометрический ряд: а) только по косинусам, б) только по синусам

2.100. Постройте график функции , разложите заданную функцию на указанном промежутке в тригонометрический ряд Фурье

2.101. Постройте график функции , разложите заданную функцию на указанном промежутке в тригонометрический ряд Фурье

2.102. на отрезке . Разложить в ряд в ряд по синусам.

2.103. на отрезке . Разложить в ряд по
синусам.

2.104. на отрезке . Разложить в ряд по косинусам .

2.105. Разложите функцию , заданную на интервале графически, в тригонометрический ряд Фурье: а) только по косинусам, б) только по синусам

2.106. Разложите функцию , заданную на интервале графически, в тригонометрический ряд Фурье: а) только по косинусам, б) только по синусам

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Сформулируйте определения сходящегося числового ряда, суммы

ряда, остатка ряда.

2. Какой ряд называется расходящимся? Приведите примеры сходя-

щихся и расходящихся рядов.

3. Сформулируйте критерий Коши сходимости числового ряда. В чем

состоит необходимый признак сходимости?

4. Какой ряд называется знакоположительным? Сформулируйте основной признак сходимости.

5.Сформулируйте достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов: признак разреженности, признаки сравнения, признак Даламбера, радикальный признак Коши и интегральный признак. Укажите условия сходимости и расходимости обобщенного гармонического ряда.

6. Верно ли, что: а) если ряд сходится, то его частичные суммы ограничены; б) если частичные суммы ограничены, то ряд сходится.

7. Существует ли ряд, который а) по признаку Даламбера сходится, а по признаку Коши расходится; б) по признаку Коши сходится, а признаку сравнения расходится.

8. Привести пример двух рядов и , для которых ряд сходится, а ряд расходится.

9. Какой ряд называется знакочередующимся? Сформулируйте признак Лейбница. В чем состоит практическое значение следствия к признаку Лейбница.

10. Верно ли, что: а) если ряд сходится абсолютно, то он сходится и условно; б) если ряд сходится условно, то он не сходится абсолютно.

11. Какой ряд называется знакопеременным? Сформулируйте достаточный признак сходимости знакопеременного ряда. В чем состоит отличие абсолютной и условной сходимости знакопеременного ряда?

12. Сформулируйте признаки Абеля и Дирихле для знакопеременных рядов.

13.Что называется функциональным рядом? Дайте определения сходящегося и равномерно сходящегося функциональных рядов. В чем состоит отличие?

14. Сформулируйте критерий Коши и признак Вейерштрасса для функциональных рядов. Приведите примеры применения.

15. Сформулируйте теорему о пределе суммы функционального ряда и теорему об её непрерывности. Приведите пример ряда с непрерывными функциями, у которого сумма является разрывной функцией.

16. Сформулируйте теоремы о дифференцировании и интегрировании функционального ряда. Приведите примеры применения.

17. Какой функциональный ряд называется степенным? Сформулируйте теорему Коши-Адамара. Какое множество является областью сходимости степенного ряда? Как его находят?

18. Сформулируйте теорему Абеля и теорему о почленном дифференцировании и интегрировании степенного ряда. Приведите пример применения последней теоремы.

19. Какой степенной ряд называется рядом Тейлора? Как определяются коэффициенты этого ряда?

20. В чем состоит необходимое и достаточное условие сходимости к своему ряду Тейлора? Только достаточное? Приведите пример функции, к которой не сходится её ряд Тейлора.

21. Запишите разложения следующих функций в ряд Маклорена: .

22. Что называется основной тригонометрической системой и тригонометрической системой общего вида? Что означает ортогональность этих систем?

23. Запишите тригонометрический ряд Фурье и коэффициенты Фурье по основной тригонометрической системе и по тригонометрической системе общего вида.

24. Сформулируйте свойства коэффициентов Фурье, а также лемму Римана.

25. Запишите тригонометрический ряд Фурье и коэффициенты Фурье: а) для четных функций; б) для нечетных функций

26. Сформулируйте теорему Вейерштрасса. Какими свойствами должна обладать функция, чтобы абсолютно и равномерно сходился ее ряд Фурье?

27. Запишите тригонометрический ряд Фурье в комплексной форме и коэффициенты Фурье. Приведите пример.

29. Какой вид имеет интеграл Фурье? При каких условиях интеграл Фурье сходится? Запишите интегральное преобразование Фурье.