Задачи и упражнения. 1.1. Докажите непосредственно сходимость следующих рядов и найти их суммы:

1.1. Докажите непосредственно сходимость следующих рядов и найти их суммы:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) .

1.2. Знакопостоянные ряды. Числовой ряд у которого все члены неотрицательные, т.е. если , называется знакоположительным. Если , то ряд называется знакоотрицательным. Знакоотрицательные и знакоположительные ряды называются знакопостоянными. Для исследования сходимости знакопостоянных рядов достаточно изучать сходимость знакоположительных рядов.

Теорема (признак разреженности). Пусть члены знакоположительного ряда монотонно убывают, т.е. . Тогда ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд

.

Пример 7. Рассмотрим вопрос о сходимости ряда ,который называется обобщенным гармоническим рядом.

Решение. Если , то расходимость следует из необходимого признака. Если , то по теореме 2 этот ряд одновременно сходится с рядом , который сходится, если , т.е. при условии, что .

Теорема (признак сравнения). Пусть даны два знакоположительных ряда , , причем для . Тогда:

а) если ряд сходится, то сходится и ряд ;

б) если ряд расходится, то расходится и ряд .

Пример 8. Выясните сходимость ряда .

Решение. Так как общий член рассматриваемого ряда имеет вид , рассмотрим в качестве вспомогательного ряда следующий ряд , где . Нетрудно заметить, что выполняется условие для любого . Ряд – сходится как геометрическая прогрессия с показателем . Следовательно, исходный ряд сходится.

Пример 9. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Ясно, что . Но ряд расходится, так как . Следовательно, расходится.

Теорема (предельный признак сравнения). Пусть даны два знакоположительных ряда и . Тогда, если существует конечный и отличный от нуля предел , то эти ряды одновременно сходятся или расходятся.

Пример 10. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Рассмотрим ряд и найдем предел

при .

Так как обобщающий гармонический ряд при расходится, то по предельному признаку сравнения заданный ряд расходится.

Теорема (признак Даламбера). Если существует предел , то знакоположительный ряд сходится при и расходится при .

Пример 11. Выясните, сходится ли ряд .

Решение. Найдем предел отношения и .

.

Следовательно, ряд сходится, согласно признака Даламбера.

Теорема (признак Коши). Если существует конечный предел

,

то в случае знакоположительный ряд сходится, а при расходится.

Пример 12. Выясните сходимость ряда .

Решение. Найдем придел – ряд сходится.

Теорема (интегральный признак). Пусть функция определна, непрерывна, положительна и не возрастает при Тогда числовой ряд сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом

Пример 13. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Так как общий член ряда имеет вид то рассмотрим функцию Несобственный интеграл

расходится, следовательно, ряд тоже расходится.