Знакопеременные ряды. Числовой ряд называется знакопеременным, если его члены могут иметь как положительные, так и отрицательные знаки

Определение. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из абсолютных величин его членов. Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Пример 14. Проверьте сходимость ряда .

Решение. Рассмотрим сходящийся ряд . Понятно, что для любого выполняется условие . Следовательно, ряд сходится абсолютно по признаку сравнения, поэтому он и просто сходится согласно признаку сравнения.

Среди знакопеременных рядов большое значение имеют знакочередующиеся ряды, т.е. ряды вида

,

где для любого . Такой ряд иногда называют рядом Лейбница.

Теорема (признак Лейбница). Пусть выполняется условие для любого и , тогда знакочередующийся ряд сходится.

Следствие. Абсолютная погрешность при замене суммы знакочередующегося ряда его частичной суммой не превосходит первого отброшенного члена ряда.

Теорема (признак Дирихле). Пусть дан ряд , такой, что последовательность монотонно стремится к нулю, а последовательность частичных сумм ряда ограничена, тогда и ряд сходится.

Пример 15. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Пусть , Тогда

.

Таким образом, .

Если , то все слагаемые равны нулю и суммы равны нулю. Таким образом, частичные суммы ограничены. Последовательность монотонно убывает и стремится к нулю при , следовательно, по признаку Дирихле ряд сходится.

Теорема (признак Абеля) Если последовательность монотонна и ограничена, а ряд сходится, то сходится и ряд .

Пример 16. Выясните сходимость ряда .

Решение. Так как ряд сходится по признаку Дирихле (последовательность частичных сумм ряда ограничена, а последовательность монотонно) и последовательность монотонна и ограничена, то ряд сходится.