Свойства ранга матрицы

1) Ранг матрицы не превосходит меньшего из ее размеров, т.е.

2) тогда и только тогда, когда – нулевая матрица.

3) Если – квадратная матрица -го порядка, то тогда и только тогда, когда матрица невырожденная.

Нахождение ранга матрицы, используя непосредственно определение, довольно громоздко и трудоемко.

Теорема 4. Ранг матрицы не изменяется при ее элементарных преобразованиях.

С помощью элементарных преобразований можно привести матрицу к верхнетреугольному виду:

,

где , ; . Ранг верхнетреугольной матрицы равен .

Пример 12. Найти ранг матрицы .

Решение. Используя технику элементарных преобразований (как в методе Гаусса), получим верхнетреугольную матрицу:

Таким образом, .n

Понятие ранга матрицы тесно связано с понятием линейной зависимости (независимости) ее строк (столбцов).

Строка (столбец) называются линейно зависимыми, если хотя бы одна из строк (столбцов) линейно выражается через остальные. В противном случае, строки (столбцы) называются линейно независимыми (подробнее читайте в п. 1.6.1).

Теорема 5. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк (столбцов).