Диференціальні рівняння. Диференціальне рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними:

Диференціальне рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними:

яке за умови зводиться до рівняння

Інтегруючи обидві частини цієї рівності, маємо

що являє собою загальний розв’язок у неявній формі.

Однорідні рівняння можуть бути записані у вигляді або де і - однорідні функції одного й того ж порядку п, тобто , . Шляхом заміни , де – невідома функція, це рівняння зводиться до рівняння з відокремлюваними змінними.

Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами мають вигляд: де р, q – сталі величини.

Частинним розв’язком такого рівняння є функція де k задовольняє так званому характеристичному рівнянню:

Загальний розв’язок рівняння залежить від коренів характеристичного рівняння. Можливі такі випадки:

1. Якщо корені k ₁ і k ₂ дійсні і різні (k ₁ ¹ k ₂), то загальний розв’язок має вигляд:

2. Якщо корені дійсні і рівні (k ₁ = k ₂ = k), то

3. Якщо корені комплексно-спряжені, тобто

k ₁ = a + bі; k ₂ = a - bі (і = ), тоді

Лінійне неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами: де р і q - дані сталі величини, а (права частина рівняння) - відома функція від х. Нехай и - загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння а у₁ – частинний розв’язок неоднорідного рівняння

Тоді загальний розв’язок даного рівняння буде причому загальний розв’язок відповідного неоднорідного рівняння залежить від виду функції Можливі такі випадки.

1. Права частина є багаточлен степеня п, тобто Тоді частинний розв’язок слід шукати у вигляді

де - багаточлен з невизначеними коефіцієнтами того ж степеня, що й багаточлен - число коренів характеристичного рівняння, які дорівнюють нулю.

2. тоді де А – невизначений коефіцієнт, r – число коренів характеристичного рівняння, що дорівнюють a.

3. . Частинний розв’язок неоднорідного рівняння має вигляд де - багаточлен з невизначеними коефіцієнтами того ж степеня, що й - число коренів характеристичного рівняння, що дорівнюють a.

4. Частинний розв’язок неоднорідного рівняння шукаємо у вигляді де А і В – невизначені коефіцієнти, r – число коренів характеристичного рівняння, що дорівнюють bі.