Змістовний модуль № 2

Розв’язання типових задач

Завдання 1. Знайти диференціал функції .

Розв’язання. Знаходимо частинні похідні даної функції:

; .

Помножуючи частинні похідні на диференціали відповідних аргументів, одержимо частинні диференціали функції:

; .

Повний диференціал функції знайдемо як суму її частинних диференціалів: .

Відповідь: .

Завдання 2. Знайти частинні похідні першого порядку від функції .

Розв’язання. Вважаючи функцією тільки одного аргументу знаходимо .

Аналогічно, вважаючи функцією тільки , одержуємо

Відповідь: , .

Завдання 3. Знайти частинні похідні другого порядку від функції .

Розв’язання. Спочатку знаходимо частинні похідні першого порядку, потім відшукуємо частинні похідні другого порядку:

; ;

; ;

; .

Відповідь: ; ; .

Завдання 4. Знайти невизначений інтеграл .

Розв’язання. За допомогою заміни змінної можна одразу привести даний інтеграл до табличного.

Зробимо підстановку , маємо . Звідки отримуємо

Відповідь: .

Завдання 5. Знайти значення первісної в точці (F(4)+C) від функції .

Розв’язання. Про інтегруємо функцію :

.

Скориставшись правилами інтегрування та таблицею інтегралів маємо

Підставимо в знайдену первісну значення

.

Відповідь: .

Завдання 6. Знайти невизначений інтеграл .

Розв’язання. Підінтегральна функція є неправильним раціональним дробом. Виділимо цілу частину, для чого поділимо чисельник на знаменник:

Отже, .

Розкладемо тепер правильний дріб на найпростіші:

.

Звільнимося від знаменників:

.

При . При . Якщо , тоді . Замінивши A та C їх значеннями, маємо

.

Для того, щоб знайти B та D, складемо ще одне рівняння. Порівнявши коефіцієнти при , маємо . Вирішив систему рівнянь

,

знаходимо , .

Отже,

Відповідь: .

Завдання 7. Знайти визначений інтеграл .

Розв’язання. Застосуємо формулу Ньютона-Лейбниця

.

Відповідь: .

Завдання 8. Знайти визначений інтеграл .

Розв’язання. Застосовуємо формулу інтегрування частинами

Відповідь: .

Завдання 9. Знайти суму рядів:

а) ; б) ; в) .

Розв’язання.

а) .

Послідовність часткових сум: , ,

.

Аналогічно

Сума ряду де - сума n перших членів ряду.

.

б) .

Послідовність часткових сум: , , , .

Часткові суми можна записати

, , , , .

Тому .

в) Ряд має таку послідовність часткових сум , , , , .

Як бачимо, ця послідовність не прямує до границі.

Відповідь: а) 1; б);розбігається в) розбігається.

Завдання 10. Знайти загальний розв’язок рівняння .

A) ; B) ; C) ; D) .

Розв’язання.

Це лінійне диференціальне рівняння з постійними коефіцієнтами. Для його вирішення необхідно скласти характеристичне рівняння:

.

Характеристичне рівняння має два однакових корені: . Тоді загальний розв’язок рівняння має наступний вид: .

Відповідь: B.

Завдання 11. Знайти загальний розв’язок диференційного рівняння

A) ; B) ; C) ;

D) .

Розв’язання.

Оскільки , тоді

;

.

Маємо однорідне диференційне рівняння з відокремлюваними змінними. Відокремлюємо змінні:

;

інтегруємо обидві частини рівності:

;

або .

Отримали загальний розв’язок диференціального рівняння.

Відповідь: D.

Завдання 12. За допомогою якої ознаки можна дослідити на збіжність ряд ?

A) радикальна ознака Коши; B) інтегральна ознака; C) ознака Даламбера;

D) ознака Лейбніца.

Розв’язання. Даний ряд складається з позитивних членів, значить ознака Лейбніця не підходить.

Спробуємо застосувати радикальну ознаку Коши:

Ряд збігається.

Відповідь: А.

Завдання 13. Знайти рішення задачі Коши:

A) ; B) ; C) ;

D) .

Розв’язання. Двічі інтегруємо праву і ліву частини рівняння: .

Отримуємо: , .

Підставимо в отримані вирази.

.

.

Отже рішення задачі Коши має наступний вид: .

Відповідь: А.

Завдання 14. Частковим розв’язком якого рівняння є даний вираз ?

A) ; B) ; C) ; D) .

Розв’язання. Про диференціюємо : .

Розглянемо рівняння під літерою С і підставимо знайдену похідну в це рівняння: .

Спростимо вираз: ,

,

.

Ліва та права частини співпадають, тож даний вираз є частковим розв’язком рівняння, що знаходиться під літерою С.

Відповідь: С.

Завдання 15. Який з перелічених рядів збігається за ознакою Даламбера?

A) ; B) ; C) ; D) .

Розв’язання. Скористаємося ознакою Даламбера для ряду під літерою А:

. Ознака Даламбера не дає точної відповіді про збіжність даного ряду.

Скористаємося ознакою Даламбера для ряду під літерою В:

Ряд збігається.

Відповідь: В.

Завдання 16. Знайти приблизне значення .

Розв’язання. Виходячи з того, що , маємо ; , крім того .

Беручи до уваги, що , , , , маємо .

Відповідь:

Завдання 17. Знайти екстремум функції .

Розв’язання. Знайдемо частинні похідні першого порядку

; .

Прирівнюючи нулю ці похідні, отримуємо систему рівнянь для визначення координат точок можливого екстремуму.

.

Отже, , , а М() – точка можливого екстремуму.

Знаходимо частинні похідні другого порядку:

; ; .

Обчислимо для точки М(), де A= 2, B= 1, C= 2.

, тому в точці М() маємо мінімум, причому .

Відповідь: М() – точка мінімуму.

Завдання 18. Знайти радіус збіжності ряду .

Розв’язання.

Скористаємося формулою :

.

Значить радіус збіжності дорівнює .

Відповідь: .

Завдання 19. Знайти суму ряду .

Розв’язання.

Сума ряду де - сума n перших членів ряду.

.

Сума ряду

Відповідь: .

Завдання 20. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями: , .

Розв’язання. Знайдемо межі інтегрування, розв’язавши систему рівнянь

, , , , .

Площу даної фігури обчислимо за формулою

Тоді

Відповідь: 4,5.

Завдання 21. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі фігури, обмеженої лініями: , .

Розв’язання. Знайдемо межі інтегрування, розв’язавши систему рівнянь

, , , , .

Об’єм даної фігури обчислимо за формулою

.

Відповідь: .

Завдання 22. Обчислити інтеграл з точністю 0,001.

Розв’язання.

Скористаємося розкладанням у степеневий ряд функції :

Відповідь: 0,190.

Завдання 23. Знайти загальний розв’язок диференційного рівняння .

Розв’язання.

Загальний розв’язок знайдемо в наступному виді:

Знайдемо розв’язок загального однорідного рівняння. Запишемо характеристичне рівняння: . Корні даного рівняння: , тоді розв’язок загального однорідного рівняння: .

Права частина рівняння представляє собою суму двох функцій спеціального виду , .

Методом невизначених коефіцієнтів знаходимо часткове рішення:

,

,

,

Підставимо вирази та в початкове рівняння і знайдемо коефіцієнти A, B:

,

.

Звідки .

Загальний розв’язок:

Відповідь: .

Завдання 24. Розкласти функцію в ряд Тейлора в точці .

Розв’язання. Знайдемо похідні даної функції та їх значення в точці : , , , , , … .

Отже,

Відповідь: .

Завдання 25. Знайти область збіжності ряду

Розв’язання. Радикальна ознака Коши

Дослідимо збіжність на кінцях інтервалу

: розбігається, тому що

: розбігається, тому що

Область збіжності .

Відповідь: .

Короткі теоретичні відомості