Система уравнений Максвелла в дифференциальной форме

В соответствии с теоремой Стокса, левую часть закона полного тока в интегральной форме (2.28) можно записать так

.

Поэтому

. (2.45)

Здесь одна и та же поверхность, натянутая на контур .

Поскольку равенство (2.45) справедливо для любого замкнутого контура и для любой поверхности , натянутой на этот контур, то заключаем, что равны подынтегральные выражения:

. (2.46)

Это и есть закон полного тока в дифференциальной форме.

Аналогично, записав закон электромагнитной индукции (2.33) в виде

и применив к левой части теорему Стокса, получим закон электромагнитной индукции в дифференциальной форме:

. (2.47)

Для получения теоремы Гаусса в дифференциальной форме применим к левой части теоремы Гаусса в интегральной форме (2.10) математическую теорему Гаусса – Остроградского (1.10):

.

Подставим это выражение в (2.10). Тогда получим:

.
Здесь в левой и правой частях – один и тот же объем, ограниченный замкнутой поверхностью .

Так как последнее равенство справедливо для любого объема , то отсюда заключаем, что

. (2.48)

Это и есть теорема Гаусса в дифференциальной форме.

Аналогично может быть выведен принцип непрерывности магнитного потока в дифференциальной форме:

. (2.49)

Выпишем теперь систему уравнений Максвелла для поля зарядов и токов в вакууме в дифференциальной форме:

Закон полного тока (2.46)	;
Закон электромагнитной индукции (2.47)	;
Принцип непрерывности магнитного потока (2.49)	;
Теорема Гаусса (2.48)	.

Из закона сохранения заряда в интегральной форме (2.21) с помощью теоремы Гаусса – Остроградского можно получить закон сохранения заряда в дифференциальной форме.

Для этого запишем (2.21) в виде

.

Применяя к последнему уравнению теорему Гаусса – Остроградского, получим:

. (2.50)

Также из принципа непрерывности электрического тока в интегральной форме (2.31) с помощью теоремы Гаусса – Остроградского можно получить принцип непрерывности электрического тока в дифференциальной форме:

. (2.51)

Заметим, что принцип непрерывности электрического тока (2.51) вытекает из закона полного тока (2.46). Для этого необходимо взять дивергенцию от левой и правой частей (2.46) и учесть, что

.

Закон сохранения заряда (2.50) может быть получен из закона полного тока (2.46) и теоремы Гаусса (2.48).

На самом деле, если в принципе непрерывности электрического тока (2.51), полученном из закона полного тока (2.46), вместо записать (теорема Гаусса в дифференциальной форме), то мы получим (2.50).

Исправление закона полного тока, которое было произведено в интегральной форме, можно произвести также в дифференциальной форме.

До Максвелла:

; (2.52)

и закон сохранения заряда

.

Если взять дивергенцию от левой и правой частей (2.52), то

.

Наблюдается противоречие с законом сохранения заряда. Исправим закон полного тока

;

;

;

. (2.53)

Теорема Гаусса

.

Продифференцируем это выражение по времени:

. (2.54)

Из (2.53) и (2.54) заключаем

,
и, следовательно, получаем формулу (2.46):

.

Теперь, если взять дивергенцию от левой и правой частей последнего уравнения и учесть теорему Гаусса, то получим закон сохранения заряда. Тем самым противоречие устранено и получено правильное выражение (2.46) для закона полного тока.

Вопросы и задачи к лекции 5

69-1. Сформулируйте принцип непрерывности магнитного потока в интегральной форме.

70-2. Запишите систему уравнений Максвелла для поля зарядов и токов в вакууме в интегральной форме.

71-3. Выведите принцип непрерывности электрического тока в интегральной форме из закона полного тока в интегральной форме.

72-4. Исходя из закона полного тока в интегральной форме и теоремы Гаусса в интегральной форме, выведите закон сохранения заряда в интегральной форме.

73-5. Пользуясь математическими теоремами Стокса и Гаусса-Остроградского, выведите уравнения Максвелла в дифференциальной форме из уравнений Максвелла в интегральной форме.

74-6. Запишите систему уравнений Максвелла для поля зарядов и токов в вакууме в дифференциальной форме.

75-7. Пользуясь математическими теоремами Стокса и Гаусса-Остроградского, выведите уравнения Максвелла в интегральной форме из уравнений Максвелла в дифференциальной форме.

76-8. Выведите принцип непрерывности электрического тока в дифференциальной форме из системы уравнений Максвелла в дифференциальной форме.

77-9. То же для закона сохранения заряда.

78-10. Исходя из принципа непрерывности магнитного потока, сформулировать первый закон Кирхгофа для узла магнитной цепи (рис. 2.38).

Рис. 2.38. К выводу первого закона Кирхгофа для узла магнитной цепи