Закон полного тока для переменных во времени полей. Ток смещения. Принцип непрерывности электрического тока

Закон полного тока (2.17) оказывается, не выполняется для переменных во времени полей (для переменных токов).

Убедимся в этом на примере рассмотрения процесса зарядки плоского конденсатора (рис. 2.27).

Рис. 2.27. Схема процесса зарядки плоского конденсатора

После замыкания рубильника в цепи потечет ток. Этот ток будет переменным во времени, так как по мере зарядки конденсатора он будет стремиться к нулю.

Возьмем замкнутый воображаемый контур (на рисунке изображено сечение этого контура). Площадь сечения контура бесконечно мала. В законе полного тока (2.17) на контур можно натянуть любую поверхность . Натянем на контур поверхность , которая проходит внутри пластины конденсатора (вблизи границы пластины с воздухом). Тогда

.

Если же на этот контур натянуть поверхность , которая проходит в воздухе между обкладками конденсатора, то

, (2.23)

так как в точках поверхности плотность тока . Но в точках контура существует определенное магнитное поле отличное от нуля, так как имеются движущиеся заряды.

Это противоречие говорит о том, что закон полного тока в форме (2.17) в общем случае (переменных полей) неверен.

Применим закон сохранения заряда к замкнутой поверхности , в виде цилиндра, одно из оснований которого лежит на , а второе – на

. (2.24)

Заряд, охватываемый этой поверхностью, можно обозначить через , где – поверхностная плотность заряда на левой обкладке конденсатора, а ‑ площадь основания указанного цилиндра (она же равна площади, «вырезаемой» цилиндром из границы обкладки конденсатора). Левая часть (2.24) запишется так:

. (2.25)

Здесь поставлена частная производная, так как , вообще говоря, зависит не только от времени, но и от координат.

Правая часть (2.24) преобразуется так

. (2.26)

Знак «-» обусловлен тем, что нормаль к левому основанию замкнутой цилиндрической поверхности противоположна по направлению нормали к поверхности , которая и выбрана в (2.24) и (2.26).

Подставляя (2.26) и (2.25) в (2.24), получим:

.

Поверхностная плотность заряда связана с напряженностью электрического поля между обкладками конденсатора, в частности в точках поверхности , соотношением

, т.е. .
Поэтому

и

.

Теперь (2.23) можно записать так:

,
т.е. если принять, что плотность тока между обкладками конденсатора, то противоречие разрешается. Этот ток называется током смещения. Его плотность

. (2.27)

Ток смещения, как и ток проводимости (с плотностью ) создает магнитное поле.

Другими словами магнитное поле порождается как движущимися зарядами, так и переменным во времени электрическим полем.

Термин «смещение» связан с тем, что в диэлектрике этот ток вызван не только переменным во времени электрическим полем, но и смещением зарядов диэлектрика, что подробно будет рассмотрено в четвертой части курса.

Теперь закон полного тока можно записать так:

(2.28)

Если в качестве берется , то в точках поверхности («почти равно нулю») и мы получаем . Если же в качестве берется , то в точках этой поверхности , а интеграл , как было показано. Поэтому независимо от того, какой формы натягивается на контур поверхность правая часть (2.28) будет равна .

Переходим к принципу непрерывности электрического тока в общем случае, т.е. для переменных во времени электромагнитных полей.

Запишем закон сохранения заряда для замкнутой поверхности , ограничивающей объем и расположенной в области движущихся зарядов:

. (2.29)

Заряд , находящийся в объеме , в соответствии с теоремой Гаусса можно представить в виде

. (2.30)

Подставляя (2.30) в (2.29) получаем

. (2.31)

Это принцип непрерывности электрического тока в общем случае.

Если обозначить

(полная плотность тока), то (2.31) можно записать так:

.

Силовые линии полной плотности тока замкнуты или уходят в бесконечность.

Для иллюстрации принципа непрерывности электрического тока рассмотрим равномерное и прямолинейное движение однородно заряженного шара с плотностью заряда .

На рис. 2.28 изображено положение заряда в момент времени . Плотность тока внутри шара существует в форме тока переноса, она равна .

Рис. 2.28. Иллюстрация принципа непрерывности полной плотности тока

Вне шара ток существует в форме тока смещения. Для определения направления вектора на рисунке пунктиром изображено положение шара в момент времени и в точке найдена графически разность . Плотность тока смещения в точке равна:

.

Зная направление в точке в момент времени , а также аналогичным способом определив направление в момент времени в других точках, расположенных в воздухе, можно зарисовать силовые линии в момент времени . Мы видим, что силовые линии полной плотности тока замкнуты или уходят в бесконечность (горизонтальная силовая линия).