Система уравнений Максвелла в интегральной форме

Выпишем уравнения, которые мы обсуждали ранее:

Закон полного тока (2.28)
Закон электромагнитной индукции (2.33)
Принцип непрерывности магнитного потока (2.39)
Теорема Гаусса (2.10)

В (2.28) и (2.33) поверхность – это поверхность, натянутая на замкнутый контур . Векторы и в этих уравнениях связаны правилом правоходового винта. Замкнутая поверхность в (2.10) и (2.39), как всегда, ориентирована изнутри наружу. В (2.10) объем – это объем, ограниченный замкнутой поверхностью .

Принцип непрерывности электрического тока (2.31) следует из закона полного тока (2.28). Покажем это.

Возьмем замкнутый контур в области существования электромагнитного поля (рис. 2.36). Натянем две поверхности на этот контур и . Запишем закон полного тока для контура :

, (2.40)

. (2.41)

Вместо (2.41) можно записать:

. (2.42)

Вычтем из (2.40) уравнение (2.42):

. (2.43)

Так как сумма поверхностей представляет собой замкнутую поверхность ориентированную изнутри наружу, то (2.43) принимает выражение (2.31) принципа непрерывности электрического тока:

.

Закон сохранения заряда (2.21) следует из закона полного тока (2.28) и теоремы Гаусса (2.10). На самом деле принцип непрерывности электрического тока (2.31), выведенный из закона полного тока (2.28), можно переписать так

. (2.44)

Подставим в (2.44) выражение для из теоремы Гаусса (2.10) и обозначим (заряд в объеме ). Тогда мы приходим к закону сохранения заряда (2.21):

.