Закон Кулона. Напряженность электрического поля. Теорема Гаусса

Лекция 3

Закон Кулона гласит, что два неподвижных заряженных тела малых, по сравнению с расстоянием между ними, размеров (два точечных заряда) расположенные в вакууме отталкиваются, если заряды их одноименные, и притягиваются, если они разноименные, причем сила их взаимодействия (сила действует на второй заряд со стороны первого, - наоборот) пропорциональна величинам зарядов и , обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними и направлена вдоль линии, соединяющей заряды (рис. 2.1)

Для модулей:

(2.1)

Рис. 2.1. Иллюстрация закона Кулона

Здесь ‑ расстояние между первым и вторым зарядом, ‑ единичный вектор, направленный от первого ко второму заряду, ‑ коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц.

Этот закон был установлен Кулоном в 1785 – 1789 гг.

Если взаимодействие происходит не в вакууме, а в воздухе, то, как показывает опыт, сила взаимодействия такая же (почти), как и в вакууме.

В системе единиц СИ единица заряда называется кулон (Кл). Из определения единицы силы тока 1А можно получить, что зарядом 1 Кл называется такая величина заряда, что, если поместить на расстоянии 1 м два одинаковых заряда по 1 Кл каждый, то они будут взаимодействовать с силой .

Тогда из (2.1) легко находим

. (2.2)

Здесь Ф – фарада (единица измерения емкости).

Вместо коэффициента k принято вводить коэффициент . Эти коэффициенты связаны соотношением

. (2.3)

Тогда окончательно закон Кулона может быть записан в виде:

, (2.4)

где, как легко найти из (2.2) и (2.3),

Для модулей

. (2.5)

Если взаимодействуют три или более точечных заряда, то при нахождении силы, действующей на какой-либо заряд, будем пользоваться принципом наложения (суперпозиции). Это опытный факт. Он состоит из двух положений:

– сила взаимодействия двух зарядов не зависит от того, подвергаются ли эти заряды воздействию других зарядов или нет;

– равнодействующая электрических сил равна векторной сумме этих сил.

Если в точках некоторого пространства обнаруживаются силы, действующие на неподвижный заряд, помещенный в эти точки, то будем говорить, что в этом пространстве существует электрическое поле. Заряд (неподвижный или движущийся) возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле. Пока мы остаемся в пределах электростатики, понятие поля может рассматриваться как понятие чисто условное, введенное лишь для удобства описания электрических явлений. Однако, перейдя к учению о переменном электромагнитном поле, в частности, к учению об электромагнитных волнах, мы убедимся, что понятие поля имеет глубокий физический смысл и что электромагнитное поле есть объективная реальность.

Согласно закону Кулона, сила, действующая на «пробный» заряд , при внесении его в поле других зарядов, пропорциональна величине этого пробного заряда . Поэтому силы электрического поля будут вполне определены, если определена в каждой точке этого поля сила, действующая на помещенный в ней единичный положительный заряд. Эта сила, действующая на заряд , называется напряженностью электрического поля в данной точке:

(2.6)

Величина пробного заряда должна быть достаточно мала, чтобы этот вносимый заряд не привел к перераспределению зарядов на поверхностях и в объемах заряженных тел, создающих исследуемое электрическое поле. Измерив напряженность в достаточно большом числе точек, мы получим математическое поле или ( – точка пространства, – ее радиус-вектор).

Так из закона Кулона следует, что поле напряженности неподвижного заряда , расположенного в начале координат имеет вид

,
где – радиус-вектор точки наблюдения, – единичный вектор направления .

Сила, действующая на заряд со стороны электрического поля, т.е. сила действующая на неподвижный заряд , помещенный в точку с напряженностью , будет, очевидно, равна

. (2.7)

Для исследования и расчета электрического поля закон Кулона не всегда удобен, хотя он и является основным законом электростатики. Более удобной является теорема Гаусса.

Теорему Гаусса можно вывести из закона Кулона. Она гласит: для поля, созданного зарядами, поток вектора напряженности электрического поля сквозь замкнутую поверхность равен суммарному заряду, попавшему внутрь , деленному на константу :

. (2.8)

В (2.8) суммируются только заряды, находящиеся внутри , элемент направлен во внешность замкнутой поверхности .

Например (рис. 2.2):

Рис. 2.2. Иллюстрация теоремы Гаусса в интегральной форме

.

Теорему Гаусса, как и любой другой физический закон, следует рассматривать как причинно-следственную связь между физическими величинами. Причина в (2.8) стоит справа, т.е. электрические заряды, которые порождают электрическое поле – следствие, которое стоит слева (сопоставьте в этом смысле теорему Гаусса, например, со вторым законом Ньютона в механике ).

В законе Кулона (2.4) причиной являются заряды , , которые также стоят справа, а следствием является сила или , которая стоит слева.

Из теоремы Гаусса можно вывести закон Кулона.

Если заряды распределены непрерывно («размазаны») в некоторой части пространства (рис. 2.3), то для характеристики интенсивности заряда в точке М вводится понятие плотности заряда (по аналогии с плотностью массы):

, (2.9)

где заряд внутри физически бесконечно-малого объема .

Рис. 2.3. К определению плотности заряда

При непрерывном распределении зарядов теорема Гаусса запишется так:

. (2.10)

Здесь – замкнутая поверхность, ограничивающая объем . Вектор ориентирован изнутри наружу.