![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Другой метод решения линейных систем с постоянными коэффициентами основан на использовании в качестве фундаментальной матрицы матричной экспоненты Матрица
определяется как сумма ряда
Если матрица найдена, то решение системы (3.1) с начальным условием
имеет вид
.
Для отыскания матрицы могут быть применены различные приемы, в зависимости от структуры спектра матрицы
.
I. Если все собственные значения матрицы
– действительные различные числа, то матрицу
удобно находить так:
, (3.6)
где (матрица, составленная из столбцов координат собственных векторов матрицы А), а
.
II. Если среди различных собственных значений матрицы А имеются комплексные, то матрица в вещественной форме может быть найдена с помощью следующего приема: нужно найти общее решение системы (3.1) так, как это было описано выше, а потом составить матрицу, i -ым столбцом которой будет решение этой системы, удовлетворяющее начальным условиям
,
.
Пример 4. Для матрицы системы из примера 2 найти .
Решение. Составим матрицу из столбцов координат собственных векторов матрицы
:
.
Тогда
.
Пример 5. Для матрицы найти
.
Решение. Собственные значения матрицы – комплексно сопряженные числа
. Собственный вектор, соответствующий
.
Имеем:
Поэтому общее решение линейной системы (3.2) с заданной матрицей имеет вид
Найдем, сначалачастноерешение, удовлетворяющееусловию . Оно будет иметь вид
Частноерешение,удовлетворяющее условиям , имеет вид
Поэтому
.
III. Если среди собственных значений матрица имеются кратные, то следует отыскать матрицу
, приводящую матрицу
к жордановой форме:
.
Жордановаклетка ,соответствующаякорню
кратности
, имеетвид
.
Для такой клетки легко находится
. (3.7)
ПроведятакиепостроениядлякаждойклеткиЖордана, находим . Тогда
.
Пример 6. Вычислить матрицу , если
.
Решение. Собственные значения данной матрицы . Так как ранг матрицы
равен 1, то жорданова форма матрицы А имеет вид
. Матрицу
, приводящую матрицу А к жордановой форме, найдем из уравнения
. Пусть
. Тогда для отыскания элементов матрицы
получим уравнение
.
Это матричное уравнение эквивалентно системе
,
решение которой следующее: . Итак,
.
Согласно формуле (3.7) . Поэтому
(3.8)
Дата публикования: 2015-03-29; Прочитано: 1318 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!