Матричная экспонента

Другой метод решения линейных систем с постоянными коэффициентами основан на использовании в качестве фундаментальной матрицы матричной экспоненты Матрица определяется как сумма ряда

Если матрица найдена, то решение системы (3.1) с начальным условием имеет вид .

Для отыскания матрицы могут быть применены различные приемы, в зависимости от структуры спектра матрицы .

I. Если все собственные значения матрицы – действительные различные числа, то матрицу удобно находить так:

, (3.6)

где (матрица, составленная из столбцов координат собственных векторов матрицы А), а

.

II. Если среди различных собственных значений матрицы А имеются комплексные, то матрица в вещественной форме может быть найдена с помощью следующего приема: нужно найти общее решение системы (3.1) так, как это было описано выше, а потом составить матрицу, i -ым столбцом которой будет решение этой системы, удовлетворяющее начальным условиям , .

Пример 4. Для матрицы системы из примера 2 найти .

Решение. Составим матрицу из столбцов координат собственных векторов матрицы :

.

Тогда

.

Пример 5. Для матрицы найти .

Решение. Собственные значения матрицы – комплексно сопряженные числа . Собственный вектор, соответствующий

.

Имеем:

Поэтому общее решение линейной системы (3.2) с заданной матрицей имеет вид

Найдем, сначалачастноерешение, удовлетворяющееусловию . Оно будет иметь вид

Частноерешение,удовлетворяющее условиям , имеет вид

Поэтому

.

III. Если среди собственных значений матрица имеются кратные, то следует отыскать матрицу , приводящую матрицу к жордановой форме:

.

Жордановаклетка ,соответствующаякорню кратности , имеетвид

.

Для такой клетки легко находится

. (3.7)

ПроведятакиепостроениядлякаждойклеткиЖордана, находим . Тогда .

Пример 6. Вычислить матрицу , если .

Решение. Собственные значения данной матрицы . Так как ранг матрицы равен 1, то жорданова форма матрицы А имеет вид . Матрицу , приводящую матрицу А к жордановой форме, найдем из уравнения . Пусть . Тогда для отыскания элементов матрицы получим уравнение

.

Это матричное уравнение эквивалентно системе

,

решение которой следующее: . Итак,

.

Согласно формуле (3.7) . Поэтому

(3.8)