Операции над событиями

1. Операция сложения: происходит событие А + В=А В, если точка, брошенная в область досто-верного события U, попадает в заштрихованное множество А+В. Вообще (в случае любого числа слагаемых) происходит сумма событий, если проис-ходит хотя бы одно из них.

2. Операция умножения: происходит событие АВ=А∩В, если точка, брошенная в область достоверного события U, попадает в заштрихованное множество. Вообще (в случае любого числа сомно-жителей) происходит произведение событий, если происходят все события.

3. Операция вычитания: происходит событие А – В=А\В, если точка, брошенная в область досто-верного события U, попадает в заштрихованное множество А – В. Происходит событие А – В, если происходит событие А, но не происходит событие В.

4. Операция дополнения: происходит событие А, если точка, брошенная в область достоверного события U, попадает в заштрихованное множество. Происхо-дит событие если не происходит событие А. Если не происходит событие А, то происходит событие .

5. Операция влечения: событие А влечет за собой событие В, если как только происходит событие А, так обязательно происходит событие В. Это означает, что событие А является подмножеством события В.

События А и В равносильны (А = В), если они происходят или не происходят одновременно. Если события равносильны, то их дополнения также равносильны. Операция дополнения в четном числе, примененная к событию А, есть само событие А, а в нечетном числе – событие .

События А₁, А₂,…, А_n образуют полную группу несовместных событий, если их сумма есть достоверное событие, а произведение каждой пары есть невозможное событие.

Ωили U – ПЭИ – пространство элементарных исходов, то есть множество простейших (неделимых) исходов эксперимента и таких, что в каждом опыте происходит ровно один из них. Мощность множества может быть разная: конечная, счётная и континуум. Приведём примеры: опыт – бросание монеты (два исхода: орёл и решка); опыт – стрельба с неограниченным боезапасом до первого попадания (множество исходов счетно и представляет собой все последовательности вида: ---…---+, где «–» означает промах, а «+» – попадание); опыт – бросание точки на отрезок (множество исходов имеет мощность континуум).

А – сигма-алгебра (σ-алгебра) событий, (элементарно – это множество всех подмножеств Ω) – множество событий, замкнутое относительно операций дополнения, объединения и пересечения не более, чем в счетном числе (σ-алгебра – обобщение понятия алгебры на не более чем счетное число объектов).

Р = Р(А) – числовая функция, определенная на σ-алгебре событий А, для которой верны две эквивалентные системы аксиом (I и II):

I. 1) 0 ≤ Р(А) ≤ 1 (неотрицательность);

2) P(U) = 1 (нормированность);

3) Если для i, j A_iA_j=V, то Р = (конечная аддитивность), n – конечное число;

4) Если A₁ A₂ …, и то (непрерыв-ность).

II. Аксиомы 1 и 2 те же;

3) Если для i, j A_iA_j=V, то Р = (счетная аддитив – ность).

Множество событий образуют булеву алгебру S. Булева алгебра представляет класс объектов, в котором определяются операции: сложение, умножение и дополнение, обладающие следующими свойствами:

1. Если A S и В S A+B S и AВ S, (замкнутость);

2. (коммутативность);

3. Ассоциативность А+(В+С)=(А+В)+С; А(ВС)=(АВ)С;

4. Дистрибутивность А(В+С)=АВ+АС;

5. Идемпотентность А+А=АА=А;

6. Совместность А+В=В АВ=А;

7. A+V=A, AV=V, A+U=U, AU=U (S – содержит «0» и «1»);

8. A+ =U, A· =V, =V, =U (S – содержит дополнительное событие);

9. Поглощение А(А+В)=А;

10. Двойственность де Моргана = , .

Следствия из аксиом:

1. P(V) = 0 – вероятность пустого множества равна 0.

Доказательство. U = U+V; из несовместнмости слагаемых U и V по аксиоме конечной аддитивности имеем P(U) = P(U) + P(V) = 0, ч.т.д.

2. P(A)=1 – P()

Доказательство. U = А + ; P(U) =1 по аксиоме конечной адди-

тивности P(U) = P(A) + Р() P(A)=1 – Р(), ч.т.д.

3. A₁ A₂ Р(А₁) Р(А₂).

4. Доказательство. А₂ = А₁+А₁А₂; из несовместности слагаемых

Р(А₂) = Р(А₁+А₁А₂) = Р(А₁) + Р(А₁А₂), ч.т.д.

Задача 1. Бросается игральная кость. Событие А – выпадение чётного числа; событие В – не более трёх очков. Описать следующие события: АВ, В, А , А+В, А\В, .

Решение. А={1,4,6}; B={1,2,3}; ={1,3,5}; ={4,5,6}. Тогда ясно, что AB = {2} – выпадение двойки; ={1,3}, А+В={2,4,6,1,3}, А\В={4,6}, , .

Задача 2. Бросаются две игральные кости. Событие А – сумма нечётных чисел; событие В – выпадение хотя бы одной единицы. Описать те же самые события (см. зад.1).