Введение. Операции над событиями

Возникновение теории вероятностей относится к XVII веку и связано с комбинаторными задачами азартных игр. Именно потребности азартных игр привели к задачам, не решаемым известными к тому времени математическими методами, и тем самым стимулировали появление новых понятий, подходов и идей. Этот период зарождения теории вероятностей связан с именами таких известных математиков как Бернулли, Лаплас, Гаусс и др.

В конце XIX и начале XX веков к теории вероятностей проявляется повышенный интерес в связи с нуждами естествознания. Это привело к становлению теории вероятностей, как самостоятельного, полноправного раздела математики. До настоящего времени интерес к теории ве-роятностей не ослабевает, о чем свидетельствуют интенсивные научные исследования в этой области.

Название предмета «Теория вероятностей» звучит для непосвя-щенных парадоксально, так как понятие «теория» связывается с наукой, которая изучает закономерности, а слово «вероятность» означает неопре-деленность, случайность. Попробуем объяснить правомерность такого названия.

На практике мы часто сталкиваемся с так называемыми массовыми случайными явлениями (событиями), которые могут появляться или не появляться при многократном воспроизведении одного и того же опыта и протекают по-разному, например, при бросании монеты или игральной кости выпадение той или другой стороны монеты или грани на кости. Неоднозначность (непредсказуемость) исхода опыта часто связана с тем, что при сохранении основных его условий второстепенные изменяются и суммарно влияют на исход опыта. Таким образом, понятие случайности в этих ситуациях возникает в связи с трудностью или невозможностью учесть влияние второстепенных факторов на результирующее событие.

Иногда же «случайность» отражает физическую природу изу-чаемого явления (например, хаотического движения элементарных час-тиц).

Однако оказывается возможным изучать общие закономерности случайных явлений, независимо от их конкретной природы. Так, замечено, что при большом числе опытов относительная частота интересующего нас случайного события А (отношения появления события А к числу проведенных опытов) обладает статистической устойчивостью, то есть относительная частота события А (при многократном повторении больших серий опытов) колеблется около одного и того же числа Р(А), которое характеризует данное событие А. Это число Р(А) дает количественную оценку влияния случая на исход А эксперимента и в соответствующей математической модели называется вероятностью события А. (Это статистическое определение вероятности события А). Устойчивость частот – это объективное свойство массовых, случайных явлений реального мира. Отсутствие устойчивости частот в сериях испытаний свидетельствует об изменениях основных условий опыта и не является объектом, интересующим теорию вероятностей. Другие закономерности случайных исходов не столь очевидны и являются предметом изучения теории вероятностей.

Таким образом, теория вероятностей занимается изучением закономерностей случайных явлений для получения количественной оценки влияния случая на исход эксперимента, а также обоснованием математических методов обработки результатов наблюдения.

Теория вероятностей имеет дело не с самими явлениями, а с их математическими моделями, упрощающими их, в которых должно быть сохранены существенные стороны явлений, а несущественные – отбро-шены. При этом надо иметь в виду, что неоправданное упрощение или усложнение модели может привести к нежелательным последствиям: упрощение – к грубым или неверным выводам, а усложнение – к трудностям или невозможности исследования.

Судить о качестве модели следует по ее соответствию практическим результатам.

Математические вероятностные модели случайных явлений исследуются на основании понятия вероятностного пространства, то есть тройки объектов {Ω, А, Р} или {U, А, Р}. Объясним эти объекты, предварительно обсудив смысл операции над событиями и дав необхо-димые определения.

Назовем событие достоверным, если оно происходи при каждом повторении опыта (обозначается обычно буквами U, E или Ω).

Назовем событие невозможным, если оно никогда не происходит и обозначается значками V или Ø.

События совместны, если они могут появиться одновременно в одном опыте и – несовместными в противном случае.

При рассмотрении операций над событиями оказывается, что при соответствующей интерпретации операции над событиями аналогичны операциям над множествами. А именно: пусть точка бросается в некоторую область достоверного события. Будем считать, что происходит событие А, если точка попадает в подмножество А. Тогда будем считать, что происходят события А+В, А·В и А–В, если точка, брошенная в Ω, попадет в соответствующие подмножества А+В, А·В и А–В. При таком понимании смысла операций над событиями они сводятся к соответст-вующим операциям над множествами, которые известны из курса математического анализа. Теперь более подробно последовательно обсу-дим конкретно свыше изложенных позиций операции над событиями.