Плоскость

Пусть -произвольная точка плоскости .

Составим вектор

Тогда и по условию

перпендикулярности векторов

(3.1)

Уравнение (3.1) называется уравнением плоскости, проходящей через заданную точку. После раскрытия скобок в уравнении (3.1) получается уравнение

, (3.2)

где

Уравнение (3.2) называется общим уравнением плоскости в пространстве.

Вектор называется нормальным вектором плоскости (3.1) или (3.2). Если плоскость проходит через три точки , лежащие на осях координат, то её уравнение имеет вид

(3.3)

Уравнение (3.3) называется уравнением плоскости в отрезках на осях. Угол, образованный двумя плоскостями, находится по формуле

(3.4)

где - нормальные векторы плоскостей.

и

Условие параллельности плоскостей имеет вид

(3.5)

Условием перпендикулярности плоскостей является равенство

(3.6)

Расстояние от точки до плоскости определяется по формуле

(3.7)

4. Прямая в пространстве.

Прямая в пространстве может быть задана

двумя пересекающимися плоскостями

(рисунок 4.1), уравнения которых

и

Рисунок 4.1

Тогда уравнения прямой будут

(4.1)

Уравнения (4.1) называются общими уравнениями прямой.

Уравнения прямой L, проходящей через точку и параллельной вектору , получаются на основе условия коллинеарности двух векторов (рисунок 4.2).

(4.2)

L

Уравнения (4.2) называются каноническими уравнениями прямой.

Рисунок 4.2

Вектор называется направляющим вектором прямой.

Уравнения прямой, проходящей через точки и , записываются в виде

(4.3)

Параметрические уравнения прямой получаются, если каждое из отношений (4.2) приравнять к параметру t:

(4.4)

Угол между двумя прямыми с направляющими векторами определяется по формуле

(4.5)

Условие параллельности двух прямых имеет вид

(4.6)

Условие перпендикулярности двух прямых записывается в виде

(4.7)