Интегральная теорема Лапласа

В условиях локальной формулы Муавра-Лапласа вероятность того, что событие появится в n испытаниях не менее k ₁ и не более k ₂ раз, можно приближенно найти по интегральной формуле Муавра-Лапласа:

,

где , , .

Функция Ф(х) называется стандартной, или нормированной, функцией Лапласа. Таблица значений функции Ф(х) приводится в приложении 2.

При использовании этой таблицы необходимо знать свойства функции Ф(х):

1. Функция Ф(х) нечетная, т. е. Ф(– х) = –Ф(х).

2. Функция Ф(х) монотонно возрастающая, причем при х ® ¥. Ф(х) ® 0,5.

Практически можно считать, что уже при х > 5 (x < –5). Ф(х)» 0,5, Ф(– х)» –0,5.

3. Ф(0) = 0.

Пример 2.5. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле равна 0,75. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена:

1) не менее 70 и не более 80 раз;

2) не более 70 раз.

Решение

По условию, n = 100, p = 0,75, q = 1 – 0,75 = 0,25.

1. k ₁ = 70, k ₂ = 80. Вычислим x ₁ и x ₂:

; .

Учитывая, что функция Лапласа нечетная, получим Ф(х ₁) = Ф(–1,16) = = – Ф(1,16). По таблице приложения 2 находим: Ф(1,16)=0,3770. Искомая вероятность:

2. Требование, чтобы мишень была поражена не более 70 раз, означает, что она может быть поражена 0 раз, либо 1 раз, …, либо 70 раз. Таким образом, в рассматриваемом случае следует применять
k ₁ = 0, k ₂ = 70. Тогда

;

.

Так как х ₁» –17,44 < –5, то . Итак,

.

Ответ: 1) 0,754; 2) 0,123.

Тест 2.5. В каждом из 500 независимых испытаний событие A происходит с постоянной вероятностью 0,4. Вероятность того, что событие A происходит не менее 180 и не более 220 раз, по интегральной теореме Лапласа находим следующим образом:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Тест 2.6. Значение функции Лапласа

при x = -6 равно:

1) Ф(6);

2) -Ф(6).