Локальная теорема Муавра-Лапласа

Если число испытаний n достаточно велико, а вероятности p и q не очень близки к нулю (обычно достаточно условий n > 100, npq > 20), то вероятность P_n (k) того, что в n испытаниях событие произойдет ровно k раз, можно приближенно найти по локальной формуле Муавра-Лапласа:

,

где , - функция Гаусса.

Функцию φ(x) часто называют малой функцией Лапласа, значения которой приведены в таблице (приложение 1).

Пользуясь таблицей, необходимо использовать свойства функции φ(x):

1. Функция φ(x) является четной, т. е. φ(– x) = φ(x).

2. Функция φ(x) - монотонно убывающая при положительных значениях x, причем при x → ¥, φ(x) → 0.

Практически можно считать, что уже при x > 5, φ(x)» 0.

Пример 2.4. Вероятность того, что изделие, сошедшее с конвейера, является изделием первого сорта, равна 0,9. Какова вероятность того, что из 400 сошедших с конвейера деталей 356 окажутся первого сорта?

Решение

По условию, n = 400, k = 356, p = 0,9, q = 0,1. Так как n достаточно велико, npq = 400 × 0,9 × 0,1 = 36 > 20, то по формуле Муавра-Лапласа:

.

Вычислим определяемое данными задачи значение x:

.

Учитывая, что , , по таблице приложения 1 находим .

Искомая вероятность .

Ответ: 0,0531.

Тест 2.3. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз. Применяя локальную формулу Муавра-Лапласа , находим x следующим образом:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Тест 2.4. Значение функции при x = – 1,37 равно:

1) ;

2) – .