Основні властивості функцій

Означення 3.8. Функція називається парною (непарною), якщо:

1) разом з будь-якою точкою точка ;

2) виконується рівність .

Якщо функція не задовольняє хоча б одній із цих умов, то вона називається функцією загального вигляду.

Означення 3.9. Функція називається монотонною, якщо вона є зростаючою, спадною, неспадною чи незростаючою.

Означення 3.10. Функція називається зростаючою, якщо для будь-яких виконується нерівність: .

Функці я називається спадною, якщо для будь-яких виконується нерівність: .

Функці я називається неспадною, якщо для будь-яких виконується нерівність: .

Функці я називається незростаючою, якщо для будь-яких виконується нерівність: .

Перші два типи функцій називаються строго монотонними, останні дві – не строго монотонними.

Означення 3.11. Функція називається обмеженою, якщо існують числа такі, що: .

Функція називається обмеженою зверху, якщо існує число таке, що: .

Функція називається обмеженою знизу, якщо існує число таке, що: .

Означення 3.12. Функція називається періодичною, якщо існує число таке, що разом з будь-якою точкою , яка належить області визначеності, точки також належать і виконується умова:

.

Найменше таке число називається періодом функції.

Запитання та завдання для самоперевірки

1. Наведіть означення обмеженої та необмеженої функцій.

2. Доведіть твердження: якщо для функції існує число таке, що разом з будь-якою точкою , точка , то точки також належать .

3. Наведіть означення епсілон-околу. Який його геометричний зміст у одно-, дво- та тривимірних просторах.

4. Які з відомих із шкільного курсу алгебри функцій є:

зростаючими;

неспадними;

періодичними;

необмеженими.

5. Побудуйте систему, яка б описувала множини таких функцій: