Числові послідовності

Означення 3.13. Числовою послідовністю називається пронумерований ряд чисел: Можна позначати також:

,

де - загальний член послідовності; - деяка невласна підмножина .

Якщо множина містить скінчену множину натуральних чисел, то послідовність називається скінченою, якщо ж містить нескінчену кількість чисел, то послідовність називається нескінченою. Ми будемо розглядати лише нескінчені числові послідовності.

Якщо послідовність нескінчена, то можна так перенумерувати члени послідовності, щоб співпадало з множиною натуральних чисел . Тоді між множиною та членами послідовності з’являється відповідність, при якій елементу з множини відповідає єдиний член послідовності, тобто існує відображення, яке є функцією. Виходячи з цього, числові послідовності називають функціями натурального аргументу.

Найбільш поширений спосіб визначення числових послідовностей – аналітичний, причому існує дві можливості:

- за формулою загального члена: ;

- за рекурентним співвідношенням: .

Останній спосіб використовується, зокрема, при визначенні арифметичної та геометричної прогресій.

Оскільки числова послідовність є функцією, то вона може мати деякі властивості функцій, визначених на підмножині множини дійсних чисел. При цьому, для частини властивостей означення зберігаються, а деякі потребують переформулювання.

Наприклад, властивість парності та непарності не існує, оскільки множина визначеності несиметрична відносно початку координат.

Періодичність числових послідовностей має інше формулювання, а саме:

Означення 3.14. Числова послідовність називається періодичною, якщо існує натуральне число таке, що, починаючи з номера , виконується умова:

.

Найменше значення називається періодом.

Означення 3.15. Числова послідовність називається обмеженою, якщо існують числа такі, що:

.

Числова послідовність називається обмеженою, якщо існує число таке, що:

.

Числова послідовність називається обмеженою знизу, якщо існує число таке, що:

.

Числова послідовність називається обмеженою зверху, якщо існує число таке, що:

.

Означення 3.16. Числова послідовність називається монотонно зростаючою, якщо

.

Числова послідовність називається монотонно спадною, якщо .

Числова послідовність називається монотонно неспадною, якщо .

Числова послідовність називається монотонно незростаючою, якщо

.