Вступ до аналізу

Означення 3.1. Абсолютною величиною, або модулем числа, називається саме число, якщо воно невід’ємне, та протилежне число, якщо воно від’ємне:

Властивості модуля

1. Модуль добутку дорівнює добутку модулів:

.

2. Модуль частки дорівнює частці модулів:

.

3. Модуль суми та різниці не більше суми модулів:

, .

Геометричний зміст модуля числа: відстань від початку координат числової прямої до точки, яка відповідає числу . У попередньому розділі ми визначили відстань між двома точками на прямій - модуль різниці координат: .

Означення 3.2. Числовим проміжком називається підмножина множини дійсних чисел , яка на координатній прямій відображається у вигляді точки, інтервалу, напівінтервалу, відрізка, променя відкритого чи замкненого та їх об’єднань і перетинів.

Приклади. Інтервал: ;

напівінтервал: ;

відрізок: ;

відкритий промінь: ;

замкнений промінь: .

Означення 3.3. Епсілон-околом точки називається множина точок, відстань від яких до точки менша за додатне число :

В одновимірному просторі , або , відстань визначається модулем різниці координат, отже: .

Означення 3.4. Функцією називається відображення множини на множину , при якому кожному елементу множини відповідає єдиний елемент множини :

,

де - область визначення, - множина значень функції .

Нехай . Тоді - образ , а - прообраз .

Зворотним до відображення називається відображення образів на прообрази, воно позначається :

.

Зворотне зображення до функції не завжди є функцією.

Означення 3.5. Функція називається такою, що має обернену, якщо зворотне відображення до неї також є функцією.

Така пара функцій називається взаємооберненою, і кожна з них – взаємооднозначною.

Означення 3.6. Функція називається числовою, якщо область визначення та множина значень є підмножинами множини дійсних чисел:

.

Числа з множини позначають змінною величиною , вона називається незалежною змінною або аргументом, а числа із множини позначають змінною величиною , вона називається залежною змінною або функцією.

Існує три способи задання функцій:

- табличний;

- графічний;

- аналітичний.

У першому випадку в таблицю записують пари відповідних значень . Зрозуміло, що таким чином можна задати функцію, у якій множини та містять скінчену кількість чисел або ці множини є ліченими.

При графічному задані функція задається графіком.

Означення 3.7. Графіком функції називається множина точок координатної площини, координати яких є .

Абсциси точок – числа з області визначення , а ординати – відповідні значення з . Область визначення в такий спосіб заданої функції – ортогональна проекція графіка на вісь абсцис, а множина значень – ортогональна проекція на вісь ординат.

При аналітичному способі визначення функції задається аналітичний вираз відносно аргументу, за яким обчислюється відповідні значення функції:

.

Область визначення в такому випадку є ОДЗ відповідного аналітичного виразу. Така область визначення називається природною.