Метод Крылова

Суть метода заключается в построении алгебраического образа. По виду которого можно было бы сразу записать собственный многочлен вещественной матрицы А.

Возьмем произвольный вектор , согласованный по размерности с матрицей А, и по этому вектору будем составлять последовательность векторов , , … до тех пор пока не встретится такой вектор , т.е. вектор являющийся линейной комбинацией предыдущих линейно независимых векторов.

Для определения номера m составляют максимально возможную линейную комбинацию, т.е. полагают m=n:

(5.11)

Здесь , при - координаты вектора , . В результате для определения имеем систему n – линейных алгебраических уравнений.

Для случая линейной независимости векторов , ¼, полученную систему решают методом Гаусса. В том случае, когда линейно независимы только m первых векторов, находят m коэффициентов системы .

Зная все значения коэффициентов можно записать собственный многочлен матрицы А: . Решив уравнение , найдем все собственные значения матрицы А.

В том случае, когда найдены только m коэффициентов системы, можно записать многочлен , который является делителем собственного многочлена матрицы А. Решив уравнение: , найдем часть собственных значений матрицы А. Изменяя исходный вектор и проделав все вычисления заново, находим все оставшиеся собственные значения.

Собственный вектор соответствующий собственному значению ищется в виде линейной комбинации линейно-независимых векторов:

,

где коэффициенты ; , ¼, .-