![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Якщо ймовірність появи події у всіх незалежних випробуваннях однакова, тоді її можна знайти за формулою Бернуллі. У цьому випадку закон розподілу дискретної випадкової величини носить назву біноміального.
Означення: Біноміальним називають розподіл ймовірностей, які визначаються за формулою Бернуллі.
, де
(10.1)
Закон названо біноміальним тому, що праву частину рівності (10.1) можна розглядати як загальний член розкладу бінома Ньютона
.
Запишемо біноміальний закон у вигляді таблиці
Х | ![]() | ![]() | ... | ![]() | ... | 0 |
Р | ![]() | ![]() | ... | ![]() | ... | ![]() |
Приклад:
Монету підкинули два рази. Скласти закон розподілу дискретної випадкової величини Х – числа появи „герба”.
Рішення
Ймовірність появи „герба” при кожному киданні монети однакова і дорівнює , відповідно ймовірність випадання „числа”
.
Розглянемо всі можливі значення дискретної випадкової величини .
Відповідні ймовірності знайдемо за формулою Бернуллі:
Закон розподілу дискретної випадкової величини Х має вигляд
Х | |||
Р | 0,25 | 0,5 | 0,25 |
Для біноміального розподілу справедливі наступні теореми.
Теорема: Математичне сподівання
числа появи події А в п незалежних випробуваннях дорівнює добутку числа випробувань на ймовірність появи події у кожному випробуванні
. (10.2)
Доведення
Будемо розглядати дискретну випадкову величину Х – числа появи події А в п незалежних випробуваннях. Нехай:
- число появи події у першому випробуванні;
- число появи події у другому випробуванні;
.................................................................................
- число появи події у
-му випробуванні.
Тоді за теоремою додавання , а ймовірність появи події
.
Оскільки події є повторними, то .
Тоді: , що і треба було довести.
Іншими словами теорему можна сформулювати: математичне сподівання біноміального розподілу з параметрами п і р дорівнює добутку п·р.
Приклад:
Ймовірність влучення в ціль при стрільбі з гармати р=0,8. Знайти математичне сподівання загального числа влучень, якщо зроблено 5 пострілів.
Рішення
Події – влучення при кожному пострілі є незалежними і повторними, тому розподіл дискретної випадкової величини Х – числа влучень при 5 пострілах з гармати є біноміальним. Тому за формулою (10.2) знайдемо середнє число влучень
.
Теорема: Дисперсія числа появи події А в п незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність р появи події однакова, дорівнює добутку числа випробувань на ймовірності появи і не появи події в одному випробуванні
. (10.3)
Доведення
Розглянемо дискретну випадкову величину Х – числа появи події А в п незалежних випробуваннях
, де
- взаємно незалежні події.
Тоді, за властивістю дисперсії
,
де .
Для знаходження складових попередньої формули, складемо розподіли
Х | Х2 | |||||
Р | p | q | Р | p | q |
Звідси,
Тоді,
.
Іншими словами, дисперсія біноміального розподілу з параметрами п і р дорівнює добутку .
Приклад:
Зроблено 10 незалежних випробувань, в кожному з яких ймовірність появи події дорівнює 0,8. Знайти дисперсію випадкової величини Х – числа появи події у цих випробуваннях.
Рішення
Знайдемо ймовірність не появи події
За формулою (10.3)
Розподіл Пуассона.
Нехай виконується п незалежних випробувань, при умові, що значення п досить велике, а ймовірність появи події А в кожному випробуванні дорівнює р і значення р є малим (
), тоді при заданні закону розподілу для знаходження ймовірності користуються формулою Пуассона
, де
(10.4)
Тоді заданий таким чином закон розподілу носить назву розподілу Пуассона.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 632 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!