![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Задача 8.1.1
Випадкова величина Х задана функцією розподілу
Знайти ймовірність того, що за результатом випробування величина Х прийме значення, що знаходиться у межах .
Рішення
Ймовірність того, що випадкова величина Х прийме значення, що вміщується в інтервалі , дорівнює приросту функції розподілу на цьому інтервалі
.
Поклавши, що , одержуємо
Задача 8.1.2
Випадкова величина Х задана на всій осі Ох функцією розподілу . Знайти ймовірність того, що за результатом випробування величина Х прийме значення, що знаходиться в інтервалі (0, 1).
Задача 8.1.3
Випадкова величина Х задана функцією розподілу
Знайти ймовірність того, що за результатом випробування величина Х прийме значення, що знаходиться у межах .
Задача 8.1.4
Випадкова величина Х задана функцією розподілу
Знайти ймовірність того, що за результатом випробування величина Х прийме значення: а) менше 0,2; б) менше 3; в) не менше 3; г) не менше 5.
Розділ 8.2. Диференціальна функція розподілу та її властивості
Нехай випадкова величина – неперервна, тоді функція розподілу F(x) теж неперервна. Нехай в околі точки х функція F(x) є диференційованою.
Означення: Диференціальною функцією розподілу f(x) називають першу похідну інтегральної функції F(x), тобто
. (8.5)
Властивість 1: Диференціальна функція є невід’ємною
.
Доведення
Ця властивість випливає із означення диференціальної функції як похідної від неспадної функції розподілу F(x). Геометрично це означає, що графік диференціальної функції розміщений або над віссю абсцис, або збігається з нею. Графік диференціальної функції називається кривою розподілу.
Властивість 2: Ймовірність того, що неперервна випадкова величина прийме значення з інтервалу дорівнює визначеному інтегралу від диференціальної функції, взятому в межах від а до b, тобто
(8.6)
Із наслідку 2 розділу 8.1 маємо
Якщо покласти у формулі (8.6) і застосувати теорему про середнє значення у визначному інтегралі, то її можна представити
Розділивши обидві частини в останній рівності на , отримаємо
Останнє відношення є середньою щільністю розподілу ймовірностей на проміжку . Якщо перейти до границі при
то отримаємо
. (8.7)
Формула (8.7) задає диференціальну функцію розподілу як щільність розподілу ймовірності неперервної випадкової величини в даній точці. У зв’язку з цим функцію f(x) називають диференціальною функцієюрозподілу або щільністю розподілу.
Приклад:
Дана диференціальна функція випадкової величини. Знайти ймовірність того, що за результатом випробування випадкова величина прийме значення з інтервалу (0,3; 1), якщо диференціальна функція дорівнює
Рішення
За формулою (8.6)
Властивість 3: Інтегральна функція розподілу може бути виражена через диференціальну
(8.8)
Доведення
Покладемо у формулі (8.8) маємо
Приклад:
Знайти інтегральну функцію за даною диференціальною функцією
Рішення
Якщо , тоді f(x)=0
F(x)=0. Якщо
, тоді
Якщо ж , тоді
Властивість 4: Інтеграл у нескінченних межах від диференціальної функції дорівнює одиниці
(8.9)
Доведення
Цей вираз є ймовірністю події, яка полягає у тому, що випадкова величина прийме значення, яке належить , тобто є ймовірністю достовірної події, а ймовірність достовірної події дорівнює одиниці.
Геометрично це означає, що вся площа, обмежена віссю абсцис і кривою щільності розподілу, дорівнює одиниці. У цьому є аналогія щільності розподілу гістограми питомих відносних частот для статистичного ряду.
Приклад:
Диференціальна функція розподілу випадкової величини задана рівністю
, знайти параметр а.
Рішення
За формулою (8.9) одержуємо
тому що
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 552 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!