![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Этот метод характеризуется высокой точностью при небольшом числе точек, используемых для расчетов.
Рассмотрим функцию на отрезке
. Для вычисления интеграла по методу Гаусса на отрезке выбираются
точек.
Квадратурная формула Гаусса записывается на основе полиномов Лежандра
. (6.5)
Запишем несколько первых полиномов:
Полиномы Лежандра обладают следующими свойствами:
1)
2) , где
- любой полином степени
.
При вычислении интеграла по квадратурной формуле Гаусса (6.6)
необходимо найти значения коэффициентов и точки
.
Точки находятся как нули соответствующего полинома Лежандра (степени
)
,
которые могут быть найдены, например, методом поразрядного приближения с требуемой точностью .
Для определения коэффициентов используется система
Уравнения данной системы составляются следующим образом:
. (6.7)
Пример. Пусть требуется вывести квадратурную формулу Гаусса с использованием трех вспомогательных точек. Сначала находятся нули , то есть корни уравнения
Для этого уравнения корни всегда равны следующим значениям:
,
.
Коэффициенты найдем из системы линейных алгебраических уравнений (6.7):
тогда .
Следовательно, для любой функции квадратурная формула Гаусса с тремя точками запишется следующим образом:
.
Для вычисления общего интеграла используется замена переменной
. (6.8)
Получим
.
Применяя к последнему интегралу квадратурную формулу Гаусса, получим
, (6.9)
где ;
- нули полинома Лежандра
.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 330 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!