Квадратурная формула Гаусса

Этот метод характеризуется высокой точностью при небольшом числе точек, используемых для расчетов.

Рассмотрим функцию на отрезке . Для вычисления интеграла по методу Гаусса на отрезке выбираются точек.

Квадратурная формула Гаусса записывается на основе полиномов Лежандра

. (6.5)

Запишем несколько первых полиномов:

Полиномы Лежандра обладают следующими свойствами:

1)

2) , где - любой полином степени .

При вычислении интеграла по квадратурной формуле Гаусса (6.6)

необходимо найти значения коэффициентов и точки .

Точки находятся как нули соответствующего полинома Лежандра (степени )

,

которые могут быть найдены, например, методом поразрядного приближения с требуемой точностью .

Для определения коэффициентов используется система

Уравнения данной системы составляются следующим образом:

. (6.7)

Пример. Пусть требуется вывести квадратурную формулу Гаусса с использованием трех вспомогательных точек. Сначала находятся нули , то есть корни уравнения

Для этого уравнения корни всегда равны следующим значениям:

, .

Коэффициенты найдем из системы линейных алгебраических уравнений (6.7):

тогда .

Следовательно, для любой функции квадратурная формула Гаусса с тремя точками запишется следующим образом:

.

Для вычисления общего интеграла используется замена переменной . (6.8)

Получим

.

Применяя к последнему интегралу квадратурную формулу Гаусса, получим

, (6.9)

где ; - нули полинома Лежандра .