Метод Гаусса. Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных

Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных. Предположим, что . В противном случае можно поменять местами первое уравнение с уравнением, в котором коэффициент при не равен 0.

1) Разделим первое уравнение системы на . Получим

, (1.2)

где ; .

2) Умножим разрешающее уравнение (1.2) на и вычтем полученное уравнение из второго уравнения системы (1.1). Аналогично преобразуем остальные уравнения:

(1.3)

где , ,…,

, (j=2, 3,…, n).

Если коэффициент , то i-е уравнение системы (1.1) войдет в систему (1.3) без изменений, т. е. , , (i = 2, 3,…, n).

3) Оставив без изменений первое уравнение, можно сделать второе уравнение разрешающим и применить описанную процедуру к системе из уравнений, исключив из третьего и последующих уравнений

где , , ,…, , (j=3, 4,…, n).

Продолжая аналогичные вычисления, приведем систему (1.1) к эквивалентной системе

(1.4)

Приведение системы (1.1) к эквивалентной системе (1.4) - прямой ход метода Гаусса. При обратном ходе происходит вычисление неизвестных, начиная с последнего, по формуле

.

Алгоритм данного метода можно записать следующим образом.

1. Для ;

2. для ;

3. ;

4. ;

5. для ;

6. ;

7. Для ;

8. .

Здесь пункты 1 - 6 представляют собой прямой ход, пункты 7 и 8 - обратный ход метода Гаусса.