Линейных алгебраических уравнений

Цель и задачи работы: изучение прямых и итерационных методов решения систем линейных алгебраических уравнений.

К решению систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) сводятся многие задачи (идентификация, оптимальное управление), они являются основой решения других задач вычислительной математики (системы дифференциальных уравнений и т. д.).

Методы решения СЛАУ разделяются на две группы:

1. Точные, или прямые, методы. Они характеризуются тем, что погрешность, как правило, определяется только погрешностью округления. К этой группе относятся методы Крамера, Гаусса и его модификации, прогонки и т. д. Метод Крамера менее эффективен для использования при решении задач на ЭВМ, поскольку требует большого числа арифметических операций. Метод Гаусса эффективен до порядка системы .

2. Итерационные. Основаны на получении и уточнении последовательных приближений к точному решению. Эффективны, когда много нулевых коэффициентов и высок порядок системы. Методы: простых итераций, Зейделя и т. д. Эффективны до порядка систем .

С помощью этих методов решаются системы вида

(1.1)

или, иначе, векторно-матричных уравнений , где - вещественная матрица коэффициентов системы ; - вектор свободных членов; - вектор неизвестных.

Решение существует и является единственным, если выполняется условие

.