Обственные векторы и

Собственные значения линейного

Преобразования

Пусть в линейном пространстве задано

линейное преобразование. Если вектор,

отличный от нуля, переводится преобразованием

в вектор, пропорциональный самому,

где – некоторое действительное число, то

вектор называется собственным

вектором преобразования, а число

– собственным значением этого

преобразования, причем говорят, что

собственный вектор относится к

собственному значению.

Пусть преобразование имеет в

некотором базисе матрицу и пусть

вектор, имеющий в том же базисе

столбец координат, является собственным

вектором, относящимся к собственному

значению. Тогда из определения следует,

что, отсюда

(1)

(здесь – единичная матрица). Полученное

равенство представляет собой квадратную

однородную систему линейных уравнений.

Известно, что такая система имеет ненулевое

решение только в том случае, когда определитель

системы равен нулю. Пусть – некоторое

неизвестное. Рассмотрим определитель

Этот определитель является

многочленом -й степени от неизвестного

и называется характеристическим

многочленом линейного преобразования.

Корни этого многочлена называются

характеристическими корнями.

Теорема. Характеристический многочлен