Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Для того чтобы сопоставить результаты наращения по разным процентным ставкам, достаточно сравнить соответствующие множители наращения. Нетрудно убедиться в том, что при одинаковых уровнях процентных ставок соотношения этих множителей существенно зависят от срока. В самом деле, при условии, что временная база для начисления процентов одна и та же, находим следующие соотношения (в приведенных ниже формулах подписной индекс s проставлен у ставки простых процентов):
— для срока меньше года простые проценты больше слож
ных:
(1 + nis) > (1 + /)«,
— для срока больше года сложные проценты больше про
стых:
(1 + nis) < (1 + /)«,
— для срока, равного году, множители наращения равны
друг другу.
Заметим также, что при п > 1 с увеличением срока различие в последствиях применения простых и сложных процентов усиливается. Графическую иллюстрацию соотношения множителей наращения см. на рис. 3.3. В табл. 3.1 приведены значения множителей наращения для /5 = / = 12%, К = 365 дней.
1 + ni9 |
Рис. 3.3
Таблица 3.1
Сравнение множителей наращения,»," i' | - 12% | |||||
Множители | Срок ссуды | |||||
наращения | 30 ди. | 180 ди. | I год | 5 лет | 10 лет | 100 лет |
1 + ni (1 + 0" | 1,016441,00936 | 1,05918 1,05748 | 1,12 1,12 | 1,6 1,76234 | 2,2 3,10584 | 13 83522,3 |
Формулы удвоения. Наиболее наглядно влияние вида ставки можно охарактеризовать, сопоставляя числа лет, необходимые для удвоения первоначальной суммы. На основе (2.1) и (3.1) получим следующие формулы удвоения:
— удвоение по простым процентам:
*,' |
п =
удвоение по сложным процентам:
п = |
1п2 0,69315
1п(1 + /) 1п(1 + 0
ПРИМЕР 3.5. Найдем сроки удвоения для /s = / = 22,5%:
1.. In2
= 3,04. |
л = |
1Ш.225 |
0,225 |
= 4,44; п =
§3.3. Наращение процентов т раз в году. Номинальная и эффективная ставки
Номинальная ставка. В современных условиях проценты капитализируются, как правило, не один, а несколько раз в году — по полугодиям, кварталам и т.д. Некоторые зарубежные коммерче-
ские банки практикуют даже ежедневное начисление процентов. При начислении процентов несколько раз в году можно воспользоваться формулой (3.1). Параметр п в этих условиях будет означать число периодов начисления, а под ставкой / следует понимать ставку за соответствующий период. Например, при поквартальном начислении процентов за 5 лет общее число периодов начисления составит 5 х 4 = 20. Множитель наращения по квартальной (сложной) ставке 8% равен в этом случае 1,0820 = 4,6609. На практике, как правило, в контрактах обычно фиксируется не ставка за период начисления, а годовая ставка, одновременно указывается период начисления процентов. Например, "18% годовых с поквартальным начислением" процентов.
Итак, пусть годовая ставка равна у, число периодов начисления в году — /и. Каждый раз проценты начисляются по ставке j/m. Ставку у называют номинальной (nominal rate). Формулу наращения теперь можно представить следующим образом:
S=p(l+AN, (3.7)
где N — общее количество периодов начисления.
Если N целое число (N = л/и), то в большинстве случаев для определения величины множителя наращения можно воспользоваться таблицей сложных процентов (табл. 2 Приложения). Например, при у = 20% и поквартальном начислении процентов (т = 4) в течение 5 лет отыскиваем табличное значение множителя для / = 20/4 = 5% и п = 5 х 4 = 20; находим q = 2,653298.
ПРИМЕР 3.6. Изменим одно условие в примере 3.1. Пусть теперь проценты начисляются не раз в году, а поквартально. В этом случае N = 20 и
S = 1 000 000| 1 + °'^55|20 = 2139049,01 руб.
Напомним, что при ежегодном начислении процентов мы получили S = 2055464,22.
Нетрудно догадаться, что чем чаще начисляются проценты, тем быстрее идет процесс наращения (цепной процесс). Для иллюстрации сказанного приведем значения множителей для J = 20% и п = 10 лет и разной частоте наращения в пределах года:
т | |||||
Я | 6,1917 | 6,7275 | 7,04 | 7,2682 | 7,385 |
Как следует из приведенных данных, наибольшую "прибавку" в наращении дает переход от ежегодного начисления процентов к полугодовому, наименьший эффект — переход от ежемесячного к ежедневному.
ПРИМЕР 3.7. Какова сумма долга через 25 месяцев, если его первоначальная величина 500 тыс.руб., проценты сложные, ставка 20% годовых, начисление поквартальное?
По условиям задачи число периодов начисления Л/ = 25: 3 = = 8 1/3. Применим два метода наращения — общий и смешанный (см. (3.6)). Получим
8!
S «500 OOof 1 + ^р] 3 - 75084ft04 руб., S = 500 000И + -^-)8 х И + у х -^-] = 751039,85 руб.
Эффективная ставка. Введем теперь новое понятие — действительная, или эффективная ставка процента (effective rate). Эта ставка измеряет тот реальный относительный доход, который получают в целом за год. Иначе говоря, эффективная ставка — это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m-разовое начисление процентов по ставке j/m.
Обозначим эффективную ставку через /. По определению множители наращения по двум ставкам (эффективной и номинальной при m-разовом начислении) должны быть равны друг другу:
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 1587 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!