Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
а) Композиция конъюнкции с отрицанием.
Исходная операция конъюнкции характеризуется арифметическим массивом:
Y X | ||
Для неё функция истинности имеет вид
Согласно построенной общей теории при отрицании первого аргумента в операции конъюнкции происходит перестановка первой и второй строк арифметического массива, что приводит к таблице
Y X | ||
Значит, функция истинности данной операции имеет вид
(11.1)
Аналогично, при отрицании по второму аргументу получается матрица арифметического массива для операции
Y X | ||
В этом случае функция истинности принимает вид
(11.2)
При внутреннем отрицании по обоим аргументам для операции вида
получаем арифметический массив:
Y X | ||
и функцию истинности
(11.3)
Внешнее отрицание конъюнкции приводит к операции
Матрица истинности этой операции имеет вид
Y X | ||
В технических приложениях эта операция носит наименование «штрих Шеффера», а по методике И.Канта «штокъюнкции» и обозначается
(11.4)
Для штокъюнкции получаем формулу совокупности рабочих блоков
Функцию истинности штокъюнкции мы сразу запишем в виде, согласованном с таблицей логической структуры конъюнкции (см. § 6):
(11.5)
б) Композиция дизъюнкции с отрицанием.
Дизъюнкция (или логическое сложение) имеет арифметический массив:
Y X | ||
Её функция истинности характеризуется формулой (5.10).
При отрицании по первому аргументу получаем таблицу
Y X | ||
и соответствующую формулу для функции истинности:
(11.6)
Эту формулу можно преобразовать с учетом выражений для функции истинности отрицания, тогда получим:
(11.7)
Сравнивая полученный результат с формулой (5.13), приходим к выводу, что имеет место равенство:
(11.8)
Этой формулой начинается получение многочисленных взаимосвязей между различными бинарными операциями. Все они соответствуют формулам, с помощью которых можно представить один и тот же блок в структуре четырех блоков, которые определённы для каждой из рассматриваемых операций и их композиций. Рассмотрим случай отрицания дизъюнкции по второму аргументу. В этом случае получаем арифметический массив
Y X | ||
Здесь функция истинности принимает вид
(11.9)
Для неё получаем связь с операций импликации в виде
(11.10)
Для внутреннего отрицания дизъюнкции по обоим аргументам, находим
Y X | ||
Здесь рабочие блоки образуют конструкт
(11.11)
Следовательно, в этом случае функция истинности имеет вид
. (11.12)
Учитывая вид арифметического массива, можно записать эту формулу в другом виде:
. (11.13)
Отсюда следует формула взаимосвязи данной операции с внешним отрицанием конъюнкции:
. (11.14)
Эта формула носит наименование 1-го закона до Моргана.
Кроме того, рассмотренная операция совпадает с рассмотренной выше операцией «штокъюнкция»
. (11.15)
Теперь перейдём к рассмотрению внешнего отрицания дизъюнкции
.
Для этой композиции находим арифметический массив:
Y X | ||
Значит, единственный рабочий блок этой операции
,
а ее функция истинности
(11.16)
Эта операция также имеет своё наименование и обозначение. По методике И.Канта она называется «нильюнкция» и обозначается:
(11.17)
(Она читается «Х» ниль «У»). Кроме того, в технических приложениях она имеет наименование «стрелка Пирса», в честь одного из математиков, изучавших ее и нашедших ей многочисленные технические приложения.
Мы будем следовать традициям И.Канта.
Операция нильюнкции, как видно из строения ее рабочих блоков, оказывается взаимной к операции дизъюнкции, так как
. (11.18).
Эта формула носит наименование второго закона де Моргана. Её доказательство предоставляется читателям.
в) Композиция импликации с отрицанием.
Из основных операций только импликация исходно является
несимметричной логической операцией. При её отрицаниях результат может быть как симметричной, так и несимметричной функцией. Рабочие блоки импликации определяются формулой (5.12). Для этой операции матричная таблица истинности имеет следующий вид
Y X | ||
Когда выполняется отрицание по первому аргументу, получаем
В соответствии с общим положением, у матрицы истинности происходит перестановка строк:
Y X | ||
Значит, формула для рабочих блоков имеет вид
(11.19)
Аналогично, если выполняется отрицание по второму аргументу
получаем перестановку столбцов исходной матрицы, что приводит к получению следующих результатов.
Матрица истинности этой операции
Y X | ||
а формула для рабочих блоков
(11.20)
Из этой таблицы получаем, что данная композиция совпадает по строению с операцией штокъюнкции (штрих Шеффера):
(11.21)
Теперь можно рассмотреть композицию двух внутренних отрицаний для импликации
Для её матрицы истинности путём перестановки строк в предыдущей таблице, получим
Y X | ||
что приводит к формуле для рабочих блоков:
(11.22)
Сравнивая эту формулу с (6.12), приходим к выводу:
(11.23)
Эта формула носит название закона контрапозиции импликации.
Рассмотрим теперь внешнее отрицание импликации
Для неё получаем матрицу истинности
Y X | ||
Из этой таблицы следует связь этой операции с конъюнкцией
(11.24)
Эта операция имеет также своё название «поляризация» и часто применяется в логике (особенно в теории множеств – как вычитание).
Для поляризации принято обозначение:
(11.25)
Эта формула читается: «Х» без «У», она указывает на исключение некоторых объектов из рассмотрения. По логическому смыслу поляризация является взаимной операцией для импликации.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 299 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!