Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Ответ:
Предельный переход в неравенстве.
Пусть в некоторой выколотой δ – окрестности точки х 0 функции f (x) и g (x) определены и выполнено неравенство f (x) < g (x). Пусть существуют пределы
и
тогда справедливо неравенство А ≤ B.
Доказательство. Пусть это не так,пусть А > B. Выберем как угодно малое положительное число ε таким, чтобы окрестности точек А и В не пересекались
(A – ε; A + ε) ∩ (B – ε; B + ε)) = Ø
Кроме того по предположению
Знак между интервалами означает, что интервал (A - ε; A + ε) лежит правее интервала (B - ε; B + ε).
Из существования пределов функций f (x) и g (x) в точке х 0 следует
( ε > 0) ( δ1 = δ1 (ε) > 0, δ1 < Δ) ( 0 < | x - x 0 | < δ1): | f (x) – A | < ε,
и
( ε > 0) ( δ2 = δ2 (ε) > 0, δ2 < Δ) ( 0 < | x - x 0 | < δ2): | g (x) – B | < ε,
Если принять δ = min {δ1,δ2} < δ, то для 0 < | x - x 0| < δ следует неравенство f (x) > g (x). Но это противоречит условию теоремы, значит, наше предположение А > B неверное.
Часто при вычислении какого-либо предела естественно для упрощения выражения, от которого берётся предел, сделать некоторую замену переменного. Пусть, например, требуется вычислить
Тогда естественно с целью упрощения сделать замену : при этом функция, от которой берётся предел, упростится и будет иметь вид
.
Однако при этом нужно знать, как изменится база предела: что мы должны написать вместо
под знаком предела от функции ?
Рассмотрим общую ситуацию. Пусть (например, для упрощения выражения) предлагается сделать некоторую замену , при этом исходный предел вычислялся при базе , состоящей из некоторых окончаний . Тогда база множеств, которым принадлежит параметр , будет состоять из образов окончаний при отображении их функцией : надо посмотреть, куда перейдёт произвольное окончание старой базы при действии функции . Получится набор множеств , где множества состоят из всех таких точек , что при некотором .
Рис.2.12.Преобразование базы под действием функции
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 551 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!