Свойства монотонных последовательностей

Ответ:

Определение. 1) Если x_n+1 > x_n для всех n, то последовательность возрастающая.

2) Если x_n+1 ³ x_n для всех n, то последовательность неубывающая.

3) Если x_n+1 < x_n для всех n, то последовательность убывающая.

4)Если x_n+1 £ x_n для всех n, то последовательность невозрастающая

Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.

Свойства монотонных последовательностей:

1. Пусть { a } – возрастающая (убывающая) последовательность, С – некоторое число. Тогда

а) { a +С } – возрастающая (убывающая) последовательность;

б) { Сa } – возрастающая (убывающая) последовательность при С >0;

в) { Сa } – убывающая (возрастающая) последовательность при С <0.

2. Если одна из последовательностей { a } и { b } возрастающая, а другая неубывающая, то{ a +b } – возрастающая последовательность; если же одна из этих последовательностей убывающая, а другая невозрастающая, то { a +b } – убывающая последовательность.

3. а) Если одна из последовательностей { a } и { b } возрастающая, а другая неубывающая, то { a b } – возрастающая последовательность при a >0, b >0 для любых n N и { a b } – убывающая последовательность при a <0, b < 0 для любых n N;

б) если одна из последовательностей { a } и { b } убывающая, а другая невозрастающая, то { a b } – убывающая последовательность при a >0, b > 0 для любых n N и { a b } – возрастающая последовательность при a <0, b < 0 для любых n N.

4. Если { a } – возрастающая (убывающая) последовательность, то

а) { } – убывающая (возрастающая) последовательность при a > 0 для любых n N;

б) { } – возрастающая (убывающая) последовательность при a <0 для любых n N.

5. Если все члены последовательности { a } принадлежат множеству M, которое содержится в области определения функции у=f(x), то

а) если { a } – возрастающая (убывающая) последовательность и функция у=f(x) возрастающая на множестве М, то { f(a ) } – возрастающая (убывающая) последовательность;

б) если { } – возрастающая (убывающая) последовательность и функция у=f(x) убывающая на множестве М, то { f(a ) } – убывающая (возрастающая) последовательность.

Например, из свойства 5 следует, что последовательности a = , b = ln n, с =n являются возрастающими, а последовательности a = , b =ln , с =( ) являются убывающими.