Основные теоремы о пределах функций. (доказательство)

Ответ:

Рассмотрим теоремы о правилах предельного перехода.

Т.1: Предел постоянной равен самой постоянной Доказательство следует из определения предела функции, так как если с = const.

Т.2: (о связи функции с ее пределом). Для того чтобы необходимо и достаточно выполнение равенства где — б.м. при х а

Запишем цепочку равносильных утверждений, следующих из определения предела функции и определения б.м.:

Т.3: Предел суммы конечного числа функций, имеющих пределы при х а, равен сумме их пределов

Пусть тогда по теореме 2 име-

ем где — б.м. при

х а, следовательно, Используя лемму 1 о б.м., заключаем, что — б.м. при

и по теореме 2 получаем равенство b1 + b2

Т.4: Предел произведения конечного числа функций, имеющих пределы при х а, равен произведению пределов Методика доказательства аналогична доказательству Т.3. Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Т.5: Предел отношения двух функций, имеющих пределы при х а, равен отношению их пределов (если предел знаменателя не нуль), т.е.

Пусть тогда, используя Т.2, аналогично доказательству Т.3 запишем

где Числитель последней дроби по леммам о б.м. является б.м. Покажем, что является функцией ограниченной, тогда дробь по лемме 2 о б.м. является б.м., и по Т.2:

Имеем в некоторой окрестности т. а для любого > 0 вследствие справедливости

т.е. ограниченность доказана