Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля

Существует достаточно много видов уравнений, содержащих переменную под знаком модуля. Приведем некоторые из них:

1. |f(x)|=a, где a≥0, a - число;

1) |x-1|=2

x-1=2 или x-1= -2

x=-1 или x=3.

Ответ: -1; 3

2) Уравнение |x-1|=-2 корней не имеет, так как расстояние всегда ≥0, а в данном уравнении получаем, что расстояние равно -2 – это противоречит условию.

2. |f(x)|=g(x);

Например:

|3x-9|=3x-9

1. Модуль выражения равен самому выражению, усли оно неотрицательно.

3x-9 0

x 3

Ответ: x [3;+∞).

3. |f₁(x)|± |f₂(x)|±… ±|f_n(x)| =g(x);

|x-2|+|x-3|+|2x-8|=9

1. Область определения уравнения:

x R

2. Нули выражения, стоящего под знаком модуля:

x-2=0 x-3=0 2x-8=0

x=2 x=3 x=4

3.Решения на интервалах:

1) Если x≤2, то

2-x+3-x+8-2x-9=0

-4x+4=0

x=1

2) Если2< x≤3, то

x-2+3-x+8-2x-9=0

-2x=0

x=0 - не удовлетворяет условию

3) Если 3< x≤4, то

x-2+x-3+8-2x-9=0

-6=0.Это высказывание ложно.

Уравнение не имеет корней.

4) Если x>4,, то x-2+x-3+2x-8-9=0

4x=22

x=5,5

Ответ: 1; 5,5.

4. |f(x)|=|g(x)|;

|3x+2|=|2x-3|. Решается путем возведения обеих часте уравнения в квадрат.

5. f|x|=a;

Например:

x²-5|x|+6=0

1. Область определения уравнения:

x R

2. Нули выражения, стоящего под знаком модуля:

x=0

3. Решения на интервалах:

1)Если x≤0, то

x²+5x+6=0

x=-2 или x=-3.

2)Если x>0, то

x²-5x+6=0

x=2 или x=3

Ответ: ±2; ±3.)

6. f|g(x)|=a; пример не тот

Например:

1. Нули выражений, стоящих под знаком модуля:

x-1=0, x-2=0

x=1, x=2

3.Решения на интервалах:

1) Если x≤1, то

-x+2=-x+4

Корней нет

2) Если 1<x≤2, то

x=-x+4

x=2

3) Если x>2, то

x=x

x (2;+∞)

Ответ: x [2;+∞).

7. |f|g(x)||=a;

||x+4|-2x|=3

решение

8. |f|g(x)||=k(x).

||x+4|-2x|=3x-1 а другое решение

1. Область определения уравнения:

x+4<0, |-x-4-2x|=3x-1

x R

2. x+4≥0,

|x+4-2x|=3x-1

x≥-4,

x≥-4, x>4, x-4=3x-1

|4-x|=3x-1

x<-4, x>- , 3x+4=3x-1

x<-4, x≤- , -3x-4=3x-1

или

x≥-4,

или

x≤4,

x>4, -2x=3

4-x=3x-1

x<-4, x=-

-4≤x≤4,

Ǿ

-4x=-5

Ǿ

Ǿ

x=1,25

Ответ: 1,25.