Векторы на плоскости и в пространстве. Операции над векторами

Вектор – направленный отрезок, т.е. раз есть слово отрезок, значит есть начало и конец.

1. перенос отрезка при помощи параллельного переноса, не изменяет вектор.

2. вектор задается «длиной вектора» и направления.

3. если у вектора изменить направление на противоположное, то получаем противоположный вектор.

4. нулевой вектор – вектор, длина которого = 0 или начальная конечная точки совпадают. (у нулевого вектора направление неопределенно).

Коллинеарные векторы – векторы, у которых задающие их отрезки параллельны одной и той же прямой.

Примечание: если из двух коллинеарных векторов направление одинаковое, то вектора сонаправленные, а если противоположные, то называется противоположно-направленные.

Компланарны е векторы – векторы, у которых задающие их отрезки параллельны одной и той же плоскости.

Примечание: два вектора в пространстве всегда компланарны.

Примечание: два вектора называются равными, если они сонаправлены и равны по длине.

Линейные операции над векторами:

1. умножение вектора на число:

Результатом будет вектор, коллинеарный исходному (соноправленный в случае положительного множителя и противоположно-направленный – в случае отрицательного множителя), длина которого равна произведению модуля числового множителя на длину исходного модуля.

2. сумма двух векторов:

Есть вектор, получаемый из слагаемых при помощи правила параллелограмма или правила треугольника.

ЛП

Пусть дано поле элементы которого будем называть скалярами. Множество называется линейным или векторным пространством над а его элементы называются векторами, если на нём определены операции

• векторного сложения обозначаемая где и
• умножения вектора на скаляр обозначаемая где

удовлетворяющие следующим условиям:

1.

2.

3.

4.

5.

6. где - мультипликативная единица в

7.

8.

8.Линейная зависимость и независимость векторов в ЛП. Пространства R^2,R^3. Базис. Размерность ЛП. Векторный базис на плоскости, в пространстве. Разложение вектора по базису. Системы координат на плоскости, в пространстве.

Базис пространства -совокупность лин независ векторов, по которым можно разложить любой вектор этого пр-ва.

Базис 3x мерного пр-ва образует любая тройка некомпланарных векторов пр-ва.

Если образуют базис в пространстве, то любой вектор из этого пространства может быть представлен:

Примечание: для конкретно-заданного базиса не всегда просто бывает найти коэффициент .

Проще всего это сделать когда базис является ортонормированным.

Понятие ортонормированности распадается на понятия ортогональности и нормированности.

(перпендикулярность и длина=1).

В 3-х мерном пространстве ортогональный базис состоит из 3 взаимноперпендикулярных векторов.

Ортонормированный базис состоит из 3-х взаимноперпендикулярных векторов, длина каждого из которых = 1

Выражение вида λ₁*A₁+λ₂*A₂+...+λ_n*A_n называется линейной комбинацией векторов A₁, A₂,...,A_n с коэффициентами λ_1, λ₂,...,λ_n.