Смешанное произведение векторов. Определение. Вычисление. Свойства

Смешанное произведение 3х векторов равно объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятого со знаком + (-), если эти векторы образуют правую (левую) тройку.

Смеш пр – число полученное в результате скалярного умножения векторного произведения [a,b] на с

Свойства:

1)смешанное произв не меняется при циклической перестановке его множителей.

(.

2)смешанное произв меняет знак при перемене мест любых букв любых сомножителей

3)смешанное произ ненулевых векторов =0 тога, когда они компланарны.

Смешанное произ векторов = определителю 3-его порядка, составленного из координат перемноженных векторов.

Приложение. 1)определение взаимных ориентаций векторов в пространстве: если >0 ( <0), то правая (левая) тройка векторов

2)комплонарность векторов: компланарны, когда их произв =0.

3)Геометрический смысл: Vпараллелепипеда= . Vтр=1/6().

Вычисление: ,

Компланарны е векторы – векторы, у которых задающие их отрезки параллельны одной и той же плоскости.
Три вектора компланарны если их смешанное произведение равно нулю.
Три вектора компланарны если они линейно зависимы

Примечание: два вектора в пространстве всегда компланарны.

Примечание: два вектора называются равными, если они сонаправлены и равны по длине.