Ранг матрицы. Способы нахождения

Максимальное число линейно-зависимых строк матрицы A наз. рангом матрицы и обознач r(a). Наибольшее из порядков миноров данной матрицы отличных от 0 наз рангом матрицы.

Свойства:

1)при транспонировании матрицы ее ранг не меняется

2)если вычеркнуть нулевой ряд, то rang не изменится

3)rang=cost, при элементарных преобразованиях.

4)ранг треуг матрицы=числу ненулевых элем, располож на глав. диагоналях.

Методы нахождения ранга матрицы:

1) метод окаймляющих миноров

2) метод элементарных преобразований

метод окаймляющих миноров:

метод окаймляющих миноров позволяет алгоритмизировать процесс нахождения ранг-матрицы и позволяет свести к минимуму количество вычисления миноров.

1) если в матрице все нулевые элементы, то ранг = 0

2) если есть хоть один ненулевой элемент => r(a)>0

теперь будем окаймлять минор М1, т.е. будем строить всевозможные миноры 2-ого порядка, ктр. содержат в себе i-тую строку и j-тый столбец, до тех пор, пока не найдем ненулевой минор 2-ого порядка.

М2 (i, i1, j.j1)

Дальше аналогично строим миноры 3-го порядка, окаймляющие М2 (минор), до тех пор, пока не получим минор, отличный от нуля.

Процесс будет продолжаться до одного из событий:
1. размер минора достигнет числа к.

2. на каком-то этапе все окаймленные миноры окажутся = 0.

В обоих случаях величина ранга-матрицы будет равна порядку большего отличного от нуля минора.

Метод элементарных преобразований:
как известно, понятие треугольной матрицы определяется только для квадратных матриц. Для прямоугольных матриц аналогом является понятие трапецивидной матрицы.

Теорема о базисном миноре. Столбцы матрицы А, входящие в БМ, образуют линейно независимую систему. Любой столбец матрицы А линейно выражается через столбцы из БМ.