Интегральное представление. Получим функцию Эйри положительного аргумента путем решения уравнения Эйри методом Фурье-преобразования

Получим функцию Эйри положительного аргумента путем решения уравнения Эйри методом Фурье-преобразования.

Используем

, (1.35)

. (1.37)

Преобразование

дает дифференциальное уравнение первого порядка

.

Разделяем переменные

,

интегрируем

.

Выполняем обратное преобразование Фурье с заменой

.

Подставляем Фурье-образ

.

Находим с, вычисляя интеграл при :

(практическое занятие по теме «Г-функция»).

Сравниваем с условием нормировки

, (8.81)

находим

.

Функция Эйри выражена через интеграл Эйри

, (8.83)

Фурье-образ функции Эйри

. (8.84)

Из (8.84) при получаем условие нормировки

. (8.82)

Предел

При из (8.80) и (8.12а)

,

получаем колебательный характер функции

. (8.85)

Первые нули :

.

Наибольший максимум ; .

Предел

Интеграл Эйри

(8.83)

при вычисляем методом Лапласа. Записываем

.

При больших x разлагаем

в ряд Тейлора около точки экстремума , и ограничиваемся первыми тремя членами ряда

.

Положение экстремума

,

,

где знак выбран из условия, что экстремум соответствует максимуму, т. е. вторая производная отрицательна. Получаем

,

,

в результате

.

Из (8.83) находим

,

,

где сделана замена

.

В полосе (0, ) отсутствуют полюсы подынтегральной функции. Поэтому сдвиг линии интегрирования в комплексной плоскости к вещественной оси не изменяет интеграла

,

где использовано

. (П.2.7).

В результате получаем

. (8.87)