Предел x ® 0

Из

, (8.11)

при

.

Подставляем в (8.57)

,

получаем

,

,

,

. (8.65)

Условия ортонормированности

1. Используем (8.48)

при . Из (8.57)

выражаем

,

,

получаем условие ортонормированности

, . (8.66)

2. При не нулевой вклад в (8.66) дает только , используя , находим

, . (8.67)

Доказательство:

Обе стороны (8.67) умножаем на , где , и интегрируем по интервалу . В левой стороне меняем порядок интегрирований и используем (8.66)

.

Правая сторона дает тот же результат

,

где учтено

.

3. Из

, , (8.67)

(8.62)

следует

. (8.68)