Интегральное представление

Получим функцию Эйри с положительным аргументом. Для этого решим уравнение Эйри

методом Фурье-преобразования.

Используем (1.35) и (1.37)

,

.

Фурье-преобразование уравнения

дает для Фурье-образа дифференциальное уравнение первого порядка

.

Разделяем переменные

,

интегрируем и находим

.

Выполняем обратное преобразование Фурье, и заменяем :

.

Подставляем Фурье-образ

.

Находим с, вычисляя интеграл при :

.

Сравниваем с условием нормировки (8.81)

,

находим

.

Вычисление интеграла

.

В (4.9)

полагаем

, , ,

получаем

,

где

.

Из (4.18)

находим

.

Получаем

.

С учетом функция Эйри выражается через интеграл Эйри

, (8.83)

Получен Фурье-образ функции Эйри

. (8.84)

Из (8.84) при находим условие нормировки (8.82)

.

Предел

При из (8.80) и (8.12а)

,

получаем колебательный характер функции

. (8.85)

Первые нули :

.

Наибольший максимум ; .

Предел

Интеграл Эйри (8.83)

при вычисляем методом Лапласа – главный вклад в интеграл вносит область вблизи максимума показателя экспоненты.

Записываем в виде

.

Разлагаем показатель экспоненты

при больших x в ряд Тейлора около точки экстремума , и ограничиваемся первыми тремя членами ряда:

.

Находим положение экстремума

,

,

где знак выбран из условия, что экстремум соответствует максимуму, где вторая производная отрицательная. Получаем

,

,

в результате

.

Из (8.83) находим

,

,

где сделана замена

.

В полосе (0, ) отсутствуют полюсы подынтегральной функции. Поэтому сдвиг линии интегрирования в комплексной плоскости к вещественной оси не изменяет интеграла

,

где использован интеграл Пуассона (П.2.7)

.

В результате получаем

. (8.87)

Преобразования Ганкеля и Фурье–Бесселя

Преобразование Ганкеля является разложением состояния, имеющего в полярных координатах радиальную функцию и проекцию орбитального момента , по базису цилиндрических функций Бесселя с непрерывным спектром . Преобразование ввел Герман Ганкель, работа опубликована в 1875 г.

Преобразование Фурье–Бесселя является разложением функции в полярных координатах по базису цилиндрических функций и по базису функций с определенной проекцией орбитального момента. Преобразование Фурье–Бесселя является обобщением преобразования Ганкеля.

Герман Ганкель (1839–1873)

Немецкий математик разработал теорию цилиндрических функций и кватернионов.