Радиальная зависимость волны. Волна удовлетворяет уравнению Гельмгольца

Волна удовлетворяет уравнению Гельмгольца

.

В сферических координатах оператор Лапласа (7.6)

,

где – оператор квадрата момента импульса.

В получаемом уравнении переменные r и (q, j) разделены, ищем решение в виде произведения независимых функций

,

где – сферическая функция. Решение подставляем в уравнение и учитываем (7.20)

.

Для радиальной функции получаем уравнение

.

Замена дает

.

Для нахождения решения сравниваем с уравнением Ломмеля

,

получаем

, , , .

Общее решение (8.4)

,

получает вид

.

Физическое решение конечно при . С учетом (8.11)

получаем , тогда

.

Радиальная зависимость волны с орбитальным моментом l и с волновым числом k описывается сферической функцией Бесселя.

Уравнение для

Решение уравнения Ломмеля (8.3)

сравниваем с (8.57)

,

находим

, , , .

Уравнение Ломмеля

получает вид

. (8.58)