Теорема Парсеваля

Теорема Парсеваля утверждает, что скалярное произведение функций равно скалярному произведению их образов.

Марк-Антуан Парсеваль (1755–1836) – французский математик. Исследовал дифференциальные уравнения и функции комплексного переменного. Доказал «теорему Парсеваля» в 1799 г. Теорема выполняется для любого унитарного (сохраняющего скалярное произведение) преобразования – Фурье, Бесселя, Ганкеля и других. Портрет Парсеваля не найден.

Для преобразования Ганкеля скалярное произведение функций равно скалярному произведению их образов

, . (8.99)

Доказательство:

В интеграл (8.99) подставляем (8.96)

,

,

и меняем порядок интегрирований

.

Используем ортонормированность функций Бесселя (8.48)

в виде

,

тогда с учетом фильтрующего свойства дельта-функции

,

где сделана замена .

Преобразование Фурье–Бесселя

Прямое преобразование Фурье–Бесселя выражает исходную функцию через коэффициенты Фурье ее образа . Обратное преобразование выражает функцию образа через коэффициенты Фурье исходной функции .

Исходная функция и ее образ связаны преобразованием Фурье (8.91) – (8.92)

,

.

Функцию разлагаем по углу φ в ряд Фурье по базису согласно (8.93)

.

Коэффициенты , зависящие от радиуса, выражаем через преобразование Ганкеля (8.96)

.

В результате исходная функция в полярных координатах выражается через коэффициенты образа Ганкеля

. (8.100а)

Функцию образа разлагаем по углу α в ряд Фурье по базису согласно (8.94) и (8.95)

,

.

В результате Фурье-образ в полярных координатах выражается через коэффициенты исходной функции

. (8.100б)

Формулы (8.100а) и (8.100б) являются разложениями функции и ее Фурье-образа, выраженных в полярных координатах, по функциям с определенной проекцией орбитального момента.

Коэффициенты и с одинаковым индексом m связаны между собой преобразованием Ганкеля