Если краевые условия обладают осевой симметрией, то решение уравнения имеет простейший вид в цилиндрических координатах

Метод разделения переменных применяем к уравнению Гельмгольца (10.6)

,

где оператор Лапласа в цилиндрических координатах

.

Факторизованное решение

подставляем в уравнение, умноженное слева на , и получаем

.

Уравнение в частных производных распадается на три независимых обыкновенных дифференциальных уравнения

,

,

. (10.10)

Знак минус перед и обеспечивает колебательный характер и . Из (10.10) находим

, ,

Целочисленность m следует из условия периодичности по углу

.

Последнее уравнение в (10.10) является уравнением Ломмеля и имеет решение (см. задачу 9.4)

.

Решение уравнения Гельмгольца (10.6) с параметрами k, m, m, где , имеет вид

. (10.11)

Общее решение волнового уравнения (10.2) в цилиндрических координатах получаем путем суммирования по всем возможным значениям параметров

.

Для нахождения функции коэффициентов задаем граничное условие при , например, в виде монохроматической волны с определенной проекцией орбитального момента :

.

Последнее равенство удовлетворяется, если

, (10.12)

что следует из свойств дельта-функции, символа Кронекера и условия ортонормированности (8.48).