Метод разделения переменных. Для однородного уравнения в частных производных

Для однородного уравнения в частных производных

,

,

метод разделения переменных преобразует уравнение к системе независимых обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод применим к уравнению, у которого производные по разным аргументам находятся в разных слагаемых. Используется факторизация функции

, (10.1)

где каждая функция удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению.

Частные случаи при

1. Для уравнения

,

где

, ,

решение ищем в виде

.

Подстановка в уравнение, умноженное слева на , дает

.

Слагаемые зависят от разных аргументов, поэтому равенство выполняется, если каждое слагаемое равно постоянной величине

,

и они связаны соотношением

.

Далее решаем независимые обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка

.

2. Для уравнения

ищем решение в виде

.

Подстановка в уравнение и деление слева на u дает

.

Равенство выполняется, если

,

.

Последнее уравнение делим слева на и получаем

.

Первые два слагаемых и третье зависят от разных аргументов, тогда

,

.

Исходное уравнение распалось на обыкновенные дифференциальные уравнения

,

,

.