Типы уравнений

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

Уравнение с частными производными содержит дифференцирование по разным аргументам. В частности, для трехмерной системы аргументами являются три координаты и время. К линейным дифференциальным уравнениям с частными производными второго порядка относятся:

уравнение для сферической функции, рассмотренное ранее;

волновое уравнение;

уравнение теплопроводности;

уравнение диффузии.

Исходное уравнение приводится к нескольким обыкновенным дифференциальным уравнениям с меньшим числом аргументов путем:

замены координат;

разделения переменных;

преобразования Фурье.

Типы уравнений

Искомая функция

зависит от n – 1 пространственных координат и от времени . Законы физики приводят во многих важных для практики случаях к линейному уравнению в частных производных второго порядка

,

где

.

Выполняется теорема: если коэффициенты при производных первого и второго порядков постоянные, то замена переменных устраняет перекрестные производные второго порядка, а замена функции – первые производные по пространственным координатам.

Получаются следующие типы уравнений, которые не переводятся друг в друга любыми заменами переменных и функции:

гиперболическое – описывает колебания и волны

;

параболическое – описывает теплопроводность и диффузию

;

эллиптическое – описывает стационарное распределение в пространстве, например распределение потенциала, созданное источником:

.

Использованы обозначения:

оператор Лапласа

;

постоянные

a ², k;

функция возмущения

.

При уравнение называется однородным.

Однозначность решения требует задания начальных и граничных условий для функции . При :

для гиперболического уравнения задаются начальные условия для функции и для ее первой производной по времени во всех точках пространства

, ;

для параболического уравнения задается начальное условие для функции во всех точках пространства

;

для эллиптического уравнения задаются условия на границе области определения для функции и для ее первых производных по координатам

.

Если система и уравнение обладают симметрией, то решение имеет простейшую форму при использовании системы координат с соответствующей симметрией.