Метод замены координат

Для упрощения уравнения вводим новые аргументы

,

где , тогда

,

,

и аналогичные выражения для x и y. Из (10.2)

получаем

.

Уравнение выполняется при

,

следовательно

s – единичный вектор;

– произвольная дифференцируемая функция.

Общее решение (10.2) является суммой волн

. (10.3)

Физический смысл . Множество точек, удовлетворяющих

, (10.3а)

принадлежат волновой поверхности, на которой решение имеет постоянное значение

.

Поверхность движется со скоростью V, удаляясь от начала координат, и называется расходящейся волной.

Дифференцируем (10.3а) по времени и получаем

.

Следовательно, скорость каждой точки волновой поверхности направлена вдоль вектора s, тогда:

s – единичный вектор, направленный вдоль скорости волны V.

С учетом

получаем – проекция вектора s на ось координат i равна косинусу угла между направлением V и осью i.

Вариация уравнения волновой поверхности

по координате дает

.

Вектор расположен по касательной к волновой поверхности, следовательно, любой участок волновой поверхности расположен перпендикулярно скорости волны.

Решение является сходящейся волной, движущейся в направлении, противоположном s.

Рассмотрим волну, возникающую в точке в момент :

,

где использовано (2.50) . Сравниваем с уравнением волновой поверхности , и при получаем

, .

Следовательно, волна движется по радиусу. Учитывая , из уравнения

получаем, что при волновая поверхность в виде сферы распространяется со скоростью V, тогда

.