Метод разделения переменных. Подставляем решение в уравнение, умножаем его слева на

Решение (10.2)

ищем в виде

.

Подставляем решение в уравнение, умножаем его слева на , и находим

.

Левая и правая части уравнения зависят от разных переменных, поэтому равны постоянной величине. Знак минус перед w² дает бегущую волну. Выбор знака плюс соответствует затухающей волне, и для граничного условия существует лишь тривиальное решение .

В результате получаем два независимых уравнения. Первое является обыкновенным дифференциальным уравнением колебаний

(10.4)

с общим решением

, (10.5)

где w – круговая частота. Второе уравнение эллиптического типа с частными производными является уравнением Гельмгольца

, (10.6)

где

– волновое число.

К уравнению (10.6) применяем метод разделения переменных

.

Подстановка в уравнение дает

.

Каждое слагаемое зависит от своего аргумента, поэтому равно постоянной , где . Получаем

, ,

,

тогда – волновой вектор, где . Частные решения имеют вид

.

Для общего решения (10.6) получаем

. (10.7)

Общее решение (10.2) включает все возможные значения k, тогда с учетом и получаем:

. (10.8)

Решение (10.8) является разложением Фурье решения (10.3)

по плоским волнам с определенными значениями волнового вектора. Задавая начальные условия, получим коэффициенты и .