Пример 4.1

Рис. 4.3.

Пусть f(х) = sin х = ,определена для всех x ¹ 0.

Здесь , а .

Теорема 4.1. Для существования предела функции f(х) при х ® х_о (х_о - число) Û f(х_о - о) = f(х_о + о).

Доказательство: Пусть ,

тогда " e > о $ d = d(e) > о: çх -х_оç< d = > çf (х) ¹ A ç < e,

и следовательно $ = (х_о - d, х_о) и = (x_о, x_о + d):

А = и А = .

Обратно, если существуют пределы А = f(x) и А = , то " e > 0 $ d₁ = d₁ (e) и d₂ = d₂ (e) такие, что, если

х_о - d₁ < х < х_о и, соответственно, х_о < х < x_о + d₂ Þ

çf(х) - Aç < e

Возьмем d = min {d₁, d₂} Þ çf(x) - A ½< e при çх -х_оç< d,

х ¹ х_о. И тогда, согласно определения 3.1 .

Лемма 4.1. Если f(х) имеет предел в точке х_о, то существует окрестность этой точки (быть может, выброшенной точкой х_о), на которой функция ограничена.

Теорема 4.2. (Правило замены переменного для пределов функции)

Пусть существуют _o, f(х) ¹ у_о " х ¹ х_о и Þ при х ® х_о существует предел сложной функции F[f(x)] и