 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Числовая последовательность
|
|
Числовая последовательность– функция вида а = f (x), x Î N,где N – множество натуральных чисел (или функция натурального аргумента), обозначается а = f (n)или а 1, а 2,…, аn,…. Значения а 1, а 2, а 3,…называют соответственно первым, вторым, третьим, … членами последовательности.
Например: an = n 2
a 1 = 12 = 1;
a 2 = 22 = 4;
a 3 = 32 = 9;… an = n 2
Способы задания последовательностей. Последовательности можно задавать различными способами, среди которых особенно важны три: аналитический, описательный и рекуррентный.
1. Последовательность задана аналитически, если задана формула ее n -го члена:
an = f (n).
Пример 3.1. an = 2 n – 1 – последовательность нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, 9, …
2. Описательныйспособ задания числовой последовательности состоит в том, что объясняется, из каких элементов строится последовательность.
Пример 3.2. «Все члены последовательности равны 1». Это значит, речь идет о стационарной последовательности 1, 1, 1, …, 1, ….
Пример 3.3. «Последовательность состоит из всех простых чисел в порядке возрастания». Таким образом, задана последовательность 2, 3, 5, 7, 11, …. При таком способе задания последовательности в данном примере трудно ответить, чему равен, скажем, 1000-й элемент последовательности.
3. Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывается правило, позволяющее вычислить n -й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. В таких случаях указывают формулу, позволяющую выразить n -й член последовательности через предыдущие.
Пример 3.4. a 1 = 3; an = an –1 + 4, если n = 2, 3, 4,….
Здесь a 1 = 3; a 2 = 3 + 4 = 7; a 3 = 7 + 4 = 11; ….
Можно видеть, что полученную в этом примере последовательность можно задать аналитически: an = 4 n – 1.
Свойства числовых последовательностей. Числовая последовательность – частный случай числовой функции, поэтому ряд свойств функций рассматриваются и для последовательностей.
Определение. Последовательность { an }называют возрастающей, если каждый ее член (кроме первого) больше предыдущего:
a 1 < a 2 < a 3 < …< an < an +1 < ….
Определение. Последовательность { an }называют убывающей, если каждый ее член (кроме первого) меньше предыдущего:
a 1 > a 2 > a 3 > … > an > an +1 > ….
Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином – монотонные последовательности.
Определение. Последовательность называется периодической, если существует такое натуральное число T, что начиная с некоторого n, выполняется равенство an = an+T. Число T называется длиной периода.
Пример 3.6. Последовательность 
периодична с длиной периода T = 2.
Арифметическая прогрессия. Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией, а число d – разностью арифметической прогрессии.
Таким образом, арифметическая прогрессия – это числовая последовательность { an }, заданная рекуррентно соотношениями
a 1 = a, an = an –1 + d (n = 2, 3, 4, …)
(a и d – заданные числа).
Пример 3.7. 1, 3, 5, 7, 9, 11, … – возрастающая арифметическая прогрессия, у которой a 1 = 1, d = 2.
Пример 3.8. 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, –1, –4,… – убывающая арифметическая прогрессия, у которой a 1 = 20, d = –3.
Нетрудно найти явное (формульное) выражение an через n. Величина очередного элемента возрастает на d по сравнению с предыдущим, таким образом, величина n элемента возрастет навеличину (n – 1) d по сравнению с первым членом арифметической прогрессии, т.е.
an = a 1 + d (n – 1).
Это формула n- го члена арифметической прогрессии.
Геометрическая прогрессия. Числовую последовательность, все члены которой отличны от нуля и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением на одно и то же число q, называют геометрической прогрессией, а число q – знаменателем геометрической прогрессии.
Таким образом, геометрическая прогрессия – это числовая последовательность { bn }, заданная рекуррентно соотношениями
b 1 = b, bn = bn –1 q (n = 2, 3, 4…).
(b и q – заданные числа, b ¹ 0, q ¹ 0).
Пример 3.9. 2, 6, 18, 54, … – возрастающая геометрическая прогрессия b = 2, q = 3.
Пример 3.10. 2, –2, 2, –2, … – геометрическая прогрессия b = 2, q = –1.
Пример 3.11. 8, 8, 8, 8, … – геометрическая прогрессия b = 8, q = 1.
Геометрическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если b 1 > 0, q > 1, и убывающей, если b 1 > 0, 0 < q < 1.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 640 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
