Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Монотонность функции



Определение 4. Функция y = f (x) называется возрастающей (убывающей) на промежутке (a; b), если для любых x 1 и x 2, принадлежащих этому промежутку, из условия x 2 > x 1 следует неравенство:

f (x 2) > f (x 1) (f (x 2) < f (x 1)).

Определение 5. Функция y = f (x) называется монотонной на промежутке (a; b), если она на этом промежутке является только возрастающей или только убывающей.

Теорема 2 (достаточные условия монотонности).

Если функция y = f (x) дифференцируема на промежутке (a; b) и f ’(x) > 0 (f ’(x) < 0) для любых x Î (a; b), то функция возрастает (убывает) на этом промежутке.

Доказательство. Возьмем любые два значения x 1 и x 2 из промежутка (a; b). Для определенности предположим, что x 2 > x 1.

На отрезке [ x 1; x 2] функция y = f (x) непрерывна и дифференцируема (из условия теоремы). Следовательно, она удовлетворяет теореме Лагранжа на [ x 1; x 2]. То есть существует хотя бы одна точка c Î (x 1; x 2), в которой выполняется равенство:

f (x 2) - f (x 1) = f ' (c) × (x 2 - x 1).

Если f ’(x)>0 для любых x Î(a; b), то f ' (c)>0. Поэтому f (x 2) - f (x 1)>0, то есть из условия x 2 > x 1 следует неравенство f (x 2) > f (x 1). А так как x 1 и x 2 любые значения из промежутка (a; b), то функция y = f (x) возрастает на этом промежутке.

Если f ’(x) < 0 для любых x Î (a; b), то f ’(c) < 0. Поэтому f (x 2) - f (x 1) < 0, то есть из условия x 2 > x 1 следует неравенство f (x 2) < f (x 1). А так как x 1 и x 2 любые значения из промежутка (a; b), то функция y = f (x) убывает на этом промежутке.

Теорема доказана.

16 вопрос:





Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 259 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2025 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.006 с)...